Theorem ctinfomlemom 12798

Description: Lemma for ctinfom 12799. Converting between om and NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctinfom.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ctinfom.g	|- G = ( F o. `' N )
ctinfom.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ctinfom.inf	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )

Assertion

Ref	Expression
ctinfomlemom	|- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   n, F   j, G, k   i, N, j, k   n, N, k   x, N, k   i, m, j, k   ph, i, k, m, x   m, n

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( x, i, j, k, m, n)   F( j, k, m)   G( x, i, m, n)   N( m)

Proof of Theorem ctinfomlemom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
2		ctinfom.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10573	. . . . . 6 |- N : om -1-1-onto-> NN0
4		f1ocnv 5535	. . . . . 6 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
6		f1ofo 5529	. . . . 5 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 -onto-> om )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- `' N : NN0 -onto-> om
8		foco 5509	. . . 4 |- ( ( F : om -onto-> A /\ `' N : NN0 -onto-> om ) -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
9	1, 7, 8	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
10		ctinfom.g	. . . 4 |- G = ( F o. `' N )
11		foeq1 5494	. . . 4 |- ( G = ( F o. `' N ) -> ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
13	9, 12	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> G : NN0 -onto-> A )
14		imaeq2 5018	. . . . . . . 8 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( F " n ) = ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
15	14	eleq2d 2275	. . . . . . 7 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
16	15	notbid 669	. . . . . 6 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
17	16	rexbidv 2507	. . . . 5 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
18		ctinfom.inf	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
20		f1of 5522	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> `' N : NN0 --> om )
23		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
24	22, 23	ffvelcdmd 5716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( `' N ` m ) e. om )
25		peano2 4643	. . . . . 6 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
27	17, 19, 26	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
28		f1of 5522	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
29	3, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
30	29	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> N : om --> NN0 )
31		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> k e. om )
32	30, 31	ffvelcdmd 5716	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
33	10	fveq1i 5577	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` ( N ` k ) ) = ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) )
34	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
35		fvco3 5650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ ( N ` k ) e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
36	21, 34, 35	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
37	33, 36	eqtrid 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
38	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> k e. om )
39		f1ocnvfv1 5846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. om ) -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
40	3, 39	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
41	40	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
43	37, 42	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` k ) )
44		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
45	43, 44	eqneltrd 2301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
46		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
47	10	fveq1i 5577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ` i ) = ( ( F o. `' N ) ` i )
48		elfznn0 10236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. NN0 )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i e. NN0 )
50		fvco3 5650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ i e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
51	21, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
52	47, 51	eqtrid 2250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
53		elfzle2 10150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i <_ m )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i <_ m )
55		0zd 9384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
56	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
57	56, 49	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. om )
58	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
59	55, 2, 57, 58	frec2uzled 10574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
60		f1ocnvfv2 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
61	3, 49, 60	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
62	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> m e. NN0 )
63		f1ocnvfv2 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
64	3, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
65	61, 64	breq12d 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) <-> i <_ m ) )
66	59, 65	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> i <_ m ) )
67	54, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) )
68		nnsssuc 6588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' N ` i ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
69	57, 58, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
70	67, 69	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) )
71	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om -onto-> A )
72		fof 5498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om --> A )
74	73	ffund 5429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> Fun F )
75	73	fdmd 5432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> dom F = om )
76	57, 75	eleqtrrd 2285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. dom F )
77		funfvima 5816	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( `' N ` i ) e. dom F ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
79	70, 78	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
80	52, 79	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
82	46, 81	eqeltrd 2282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
83	45, 82	mtand 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
84	83	neqned 2383	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
85	84	ralrimiva 2579	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
86		fveq2 5576	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` k ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( N ` k ) ) )
87	86	neeq1d 2394	. . . . . . 7 |- ( j = ( N ` k ) -> ( ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
88	87	ralbidv 2506	. . . . . 6 |- ( j = ( N ` k ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
89	88	rspcev 2877	. . . . 5 |- ( ( ( N ` k ) e. NN0 /\ A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
90	32, 85, 89	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
91	27, 90	rexlimddv 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
92	91	ralrimiva 2579	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
93	13, 92	jca 306	1 |- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   suc csuc 4412   omcom 4638   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   "cima 4678   o. ccom 4679   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  freccfrec 6476   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   <_ cle 8108   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  ctinfom  12799