ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctinfomlemom Unicode version

Theorem ctinfomlemom 11951
Description: Lemma for ctinfom 11952. Converting between  om and  NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ctinfom.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ctinfom.g  |-  G  =  ( F  o.  `' N )
ctinfom.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ctinfom.inf  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( F `  k )  e.  ( F "
n ) )
Assertion
Ref Expression
ctinfomlemom  |-  ( ph  ->  ( G : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e. 
NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( G `  j )  =/=  ( G `  i ) ) )
Distinct variable groups:    i, F, x   
n, F    j, G, k    i, N, j, k   
n, N, k    x, N, k    i, m, j, k    ph, i, k, m, x    m, n
Allowed substitution hints:    ph( j, n)    A( x, i, j, k, m, n)    F( j, k, m)    G( x, i, m, n)    N( m)

Proof of Theorem ctinfomlemom
StepHypRef Expression
1 ctinfom.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
2 ctinfom.n . . . . . . 7  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
32frechashgf1o 10213 . . . . . 6  |-  N : om
-1-1-onto-> NN0
4 f1ocnv 5380 . . . . . 6  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' N : NN0
-1-1-onto-> om )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  `' N : NN0
-1-1-onto-> om
6 f1ofo 5374 . . . . 5  |-  ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' N : NN0 -onto-> om )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  `' N : NN0 -onto-> om
8 foco 5355 . . . 4  |-  ( ( F : om -onto-> A  /\  `' N : NN0 -onto-> om )  ->  ( F  o.  `' N ) : NN0 -onto-> A )
91, 7, 8sylancl 409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  `' N ) : NN0 -onto-> A )
10 ctinfom.g . . . 4  |-  G  =  ( F  o.  `' N )
11 foeq1 5341 . . . 4  |-  ( G  =  ( F  o.  `' N )  ->  ( G : NN0 -onto-> A  <->  ( F  o.  `' N ) : NN0 -onto-> A ) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( G : NN0 -onto-> A  <->  ( F  o.  `' N ) : NN0 -onto-> A )
139, 12sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN0 -onto-> A
)
14 imaeq2 4877 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  suc  ( `' N `  m )  ->  ( F "
n )  =  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) )
1514eleq2d 2209 . . . . . . 7  |-  ( n  =  suc  ( `' N `  m )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( F " n
)  <->  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )
1615notbid 656 . . . . . 6  |-  ( n  =  suc  ( `' N `  m )  ->  ( -.  ( F `  k )  e.  ( F " n
)  <->  -.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )
1716rexbidv 2438 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  ( `' N `  m )  ->  ( E. k  e.  om  -.  ( F `
 k )  e.  ( F " n
)  <->  E. k  e.  om  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )
18 ctinfom.inf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( F `  k )  e.  ( F "
n ) )
1918adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( F `  k )  e.  ( F " n ) )
20 f1of 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' N : NN0 --> om )
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  `' N : NN0 --> om
2221a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  `' N : NN0 --> om )
23 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
2422, 23ffvelrnd 5556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( `' N `  m )  e.  om )
25 peano2 4509 . . . . . 6  |-  ( ( `' N `  m )  e.  om  ->  suc  ( `' N `  m )  e.  om )
2624, 25syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  suc  ( `' N `  m )  e.  om )
2717, 19, 26rspcdva 2794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  E. k  e.  om  -.  ( F `
 k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) )
28 f1of 5367 . . . . . . . 8  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  N : om
--> NN0 )
293, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  N : om
--> NN0
3029a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  om  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )  ->  N : om --> NN0 )
31 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  om  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )  -> 
k  e.  om )
3230, 31ffvelrnd 5556 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  om  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )  -> 
( N `  k
)  e.  NN0 )
3310fveq1i 5422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( N `  k ) )  =  ( ( F  o.  `' N ) `  ( N `  k )
)
3432adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( N `  k )  e.  NN0 )
35 fvco3 5492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' N : NN0 --> om  /\  ( N `  k )  e.  NN0 )  -> 
( ( F  o.  `' N ) `  ( N `  k )
)  =  ( F `
 ( `' N `  ( N `  k
) ) ) )
3621, 34, 35sylancr 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( F  o.  `' N ) `
 ( N `  k ) )  =  ( F `  ( `' N `  ( N `
 k ) ) ) )
3733, 36syl5eq 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( G `  ( N `  k ) )  =  ( F `
 ( `' N `  ( N `  k
) ) ) )
3831adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  k  e.  om )
39 f1ocnvfv1 5678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> NN0  /\  k  e. 
om )  ->  ( `' N `  ( N `
 k ) )  =  k )
403, 39mpan 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  om  ->  ( `' N `  ( N `
 k ) )  =  k )
4140fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  ( F `  ( `' N `  ( N `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
4238, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( F `  ( `' N `  ( N `
 k ) ) )  =  ( F `
 k ) )
4337, 42eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( G `  ( N `  k ) )  =  ( F `
 k ) )
44 simplrr 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  -.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) )
4543, 44eqneltrd 2235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  -.  ( G `  ( N `  k
) )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) )
46 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  /\  ( G `  ( N `  k ) )  =  ( G `
 i ) )  ->  ( G `  ( N `  k ) )  =  ( G `
 i ) )
4710fveq1i 5422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 i )  =  ( ( F  o.  `' N ) `  i
)
48 elfznn0 9906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0 ... m )  ->  i  e.  NN0 )
4948adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  i  e.  NN0 )
50 fvco3 5492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' N : NN0 --> om  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( F  o.  `' N ) `  i
)  =  ( F `
 ( `' N `  i ) ) )
5121, 49, 50sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( F  o.  `' N ) `
 i )  =  ( F `  ( `' N `  i ) ) )
5247, 51syl5eq 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( `' N `  i ) ) )
53 elfzle2 9820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 0 ... m )  ->  i  <_  m )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  i  <_  m
)
55 0zd 9078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  0  e.  ZZ )
5621a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  `' N : NN0
--> om )
5756, 49ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( `' N `  i )  e.  om )
5824ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( `' N `  m )  e.  om )
5955, 2, 57, 58frec2uzled 10214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( `' N `  i ) 
C_  ( `' N `  m )  <->  ( N `  ( `' N `  i ) )  <_ 
( N `  ( `' N `  m ) ) ) )
60 f1ocnvfv2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> NN0  /\  i  e. 
NN0 )  ->  ( N `  ( `' N `  i )
)  =  i )
613, 49, 60sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( N `  ( `' N `  i ) )  =  i )
6223ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  m  e.  NN0 )
63 f1ocnvfv2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> NN0  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( N `  ( `' N `  m )
)  =  m )
643, 62, 63sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( N `  ( `' N `  m ) )  =  m )
6561, 64breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( N `
 ( `' N `  i ) )  <_ 
( N `  ( `' N `  m ) )  <->  i  <_  m
) )
6659, 65bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( `' N `  i ) 
C_  ( `' N `  m )  <->  i  <_  m ) )
6754, 66mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( `' N `  i )  C_  ( `' N `  m ) )
68 nnsssuc 6398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' N `  i )  e.  om  /\  ( `' N `  m )  e.  om )  ->  ( ( `' N `  i ) 
C_  ( `' N `  m )  <->  ( `' N `  i )  e.  suc  ( `' N `  m ) ) )
6957, 58, 68syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( `' N `  i ) 
C_  ( `' N `  m )  <->  ( `' N `  i )  e.  suc  ( `' N `  m ) ) )
7067, 69mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( `' N `  i )  e.  suc  ( `' N `  m ) )
711ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  F : om -onto-> A )
72 fof 5345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : om -onto-> A  ->  F : om --> A )
7371, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  F : om --> A )
7473ffund 5276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  Fun  F )
7573fdmd 5279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  dom  F  =  om )
7657, 75eleqtrrd 2219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( `' N `  i )  e.  dom  F )
77 funfvima 5649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' N `  i )  e.  dom  F )  ->  ( ( `' N `  i )  e.  suc  ( `' N `  m )  ->  ( F `  ( `' N `  i ) )  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )
7874, 76, 77syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( `' N `  i )  e.  suc  ( `' N `  m )  ->  ( F `  ( `' N `  i ) )  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )
7970, 78mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( F `  ( `' N `  i ) )  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) )
8052, 79eqeltrd 2216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( G `  i )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) )
8180adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  /\  ( G `  ( N `  k ) )  =  ( G `
 i ) )  ->  ( G `  i )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) )
8246, 81eqeltrd 2216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  /\  ( G `  ( N `  k ) )  =  ( G `
 i ) )  ->  ( G `  ( N `  k ) )  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) )
8345, 82mtand 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  -.  ( G `  ( N `  k
) )  =  ( G `  i ) )
8483neqned 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  om  /\ 
-.  ( F `  k )  e.  ( F " suc  ( `' N `  m ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( G `  ( N `  k ) )  =/=  ( G `
 i ) )
8584ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  om  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0 ... m ) ( G `  ( N `
 k ) )  =/=  ( G `  i ) )
86 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N `  k )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( N `  k ) ) )
8786neeq1d 2326 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( N `  k )  ->  (
( G `  j
)  =/=  ( G `
 i )  <->  ( G `  ( N `  k
) )  =/=  ( G `  i )
) )
8887ralbidv 2437 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( N `  k )  ->  ( A. i  e.  (
0 ... m ) ( G `  j )  =/=  ( G `  i )  <->  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( G `  ( N `  k ) )  =/=  ( G `
 i ) ) )
8988rspcev 2789 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  k
)  e.  NN0  /\  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( G `  ( N `
 k ) )  =/=  ( G `  i ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( G `  j )  =/=  ( G `  i ) )
9032, 85, 89syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  om  /\  -.  ( F `  k
)  e.  ( F
" suc  ( `' N `  m )
) ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( G `  j )  =/=  ( G `  i ) )
9127, 90rexlimddv 2554 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( G `  j )  =/=  ( G `  i )
)
9291ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( G `  j )  =/=  ( G `  i )
)
9313, 92jca 304 1  |-  ( ph  ->  ( G : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e. 
NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( G `  j )  =/=  ( G `  i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542    o. ccom 4543   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    <_ cle 7813   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803
This theorem is referenced by:  ctinfom  11952
  Copyright terms: Public domain W3C validator