Theorem ctinfomlemom 12382

Description: Lemma for ctinfom 12383. Converting between om and NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctinfom.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ctinfom.g	|- G = ( F o. `' N )
ctinfom.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ctinfom.inf	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )

Assertion

Ref	Expression
ctinfomlemom	|- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   n, F   j, G, k   i, N, j, k   n, N, k   x, N, k   i, m, j, k   ph, i, k, m, x   m, n

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( x, i, j, k, m, n)   F( j, k, m)   G( x, i, m, n)   N( m)

Proof of Theorem ctinfomlemom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
2		ctinfom.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10384	. . . . . 6 |- N : om -1-1-onto-> NN0
4		f1ocnv 5455	. . . . . 6 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
6		f1ofo 5449	. . . . 5 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 -onto-> om )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- `' N : NN0 -onto-> om
8		foco 5430	. . . 4 |- ( ( F : om -onto-> A /\ `' N : NN0 -onto-> om ) -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
9	1, 7, 8	sylancl 411	. . 3 |- ( ph -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
10		ctinfom.g	. . . 4 |- G = ( F o. `' N )
11		foeq1 5416	. . . 4 |- ( G = ( F o. `' N ) -> ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
13	9, 12	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> G : NN0 -onto-> A )
14		imaeq2 4949	. . . . . . . 8 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( F " n ) = ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
15	14	eleq2d 2240	. . . . . . 7 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
16	15	notbid 662	. . . . . 6 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
17	16	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
18		ctinfom.inf	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
20		f1of 5442	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> `' N : NN0 --> om )
23		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
24	22, 23	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( `' N ` m ) e. om )
25		peano2 4579	. . . . . 6 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
27	17, 19, 26	rspcdva 2839	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
28		f1of 5442	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
29	3, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
30	29	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> N : om --> NN0 )
31		simprl 526	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> k e. om )
32	30, 31	ffvelrnd 5632	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
33	10	fveq1i 5497	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` ( N ` k ) ) = ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) )
34	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
35		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ ( N ` k ) e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
36	21, 34, 35	sylancr 412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
37	33, 36	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
38	31	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> k e. om )
39		f1ocnvfv1 5756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. om ) -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
40	3, 39	mpan 422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
41	40	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
43	37, 42	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` k ) )
44		simplrr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
45	43, 44	eqneltrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
46		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
47	10	fveq1i 5497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ` i ) = ( ( F o. `' N ) ` i )
48		elfznn0 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. NN0 )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i e. NN0 )
50		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ i e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
51	21, 49, 50	sylancr 412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
52	47, 51	eqtrid 2215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
53		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i <_ m )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i <_ m )
55		0zd 9224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
56	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
57	56, 49	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. om )
58	24	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
59	55, 2, 57, 58	frec2uzled 10385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
60		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
61	3, 49, 60	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
62	23	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> m e. NN0 )
63		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
64	3, 62, 63	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
65	61, 64	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) <-> i <_ m ) )
66	59, 65	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> i <_ m ) )
67	54, 66	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) )
68		nnsssuc 6481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' N ` i ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
69	57, 58, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
70	67, 69	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) )
71	1	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om -onto-> A )
72		fof 5420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om --> A )
74	73	ffund 5351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> Fun F )
75	73	fdmd 5354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> dom F = om )
76	57, 75	eleqtrrd 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. dom F )
77		funfvima 5727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( `' N ` i ) e. dom F ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
79	70, 78	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
80	52, 79	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
81	80	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
82	46, 81	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
83	45, 82	mtand 660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
84	83	neqned 2347	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
85	84	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
86		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` k ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( N ` k ) ) )
87	86	neeq1d 2358	. . . . . . 7 |- ( j = ( N ` k ) -> ( ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
88	87	ralbidv 2470	. . . . . 6 |- ( j = ( N ` k ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
89	88	rspcev 2834	. . . . 5 |- ( ( ( N ` k ) e. NN0 /\ A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
90	32, 85, 89	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
91	27, 90	rexlimddv 2592	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
92	91	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
93	13, 92	jca 304	1 |- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   "cima 4614   o. ccom 4615   Fun wfun 5192   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   <_ cle 7955   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  ctinfom  12383