Theorem ctinfomlemom 11976

Description: Lemma for ctinfom 11977. Converting between om and NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctinfom.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ctinfom.g	|- G = ( F o. `' N )
ctinfom.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ctinfom.inf	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )

Assertion

Ref	Expression
ctinfomlemom	|- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   n, F   j, G, k   i, N, j, k   n, N, k   x, N, k   i, m, j, k   ph, i, k, m, x   m, n

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( x, i, j, k, m, n)   F( j, k, m)   G( x, i, m, n)   N( m)

Proof of Theorem ctinfomlemom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
2		ctinfom.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10232	. . . . . 6 |- N : om -1-1-onto-> NN0
4		f1ocnv 5388	. . . . . 6 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
6		f1ofo 5382	. . . . 5 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 -onto-> om )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- `' N : NN0 -onto-> om
8		foco 5363	. . . 4 |- ( ( F : om -onto-> A /\ `' N : NN0 -onto-> om ) -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
9	1, 7, 8	sylancl 410	. . 3 |- ( ph -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
10		ctinfom.g	. . . 4 |- G = ( F o. `' N )
11		foeq1 5349	. . . 4 |- ( G = ( F o. `' N ) -> ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
13	9, 12	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> G : NN0 -onto-> A )
14		imaeq2 4885	. . . . . . . 8 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( F " n ) = ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
15	14	eleq2d 2210	. . . . . . 7 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
16	15	notbid 657	. . . . . 6 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
17	16	rexbidv 2439	. . . . 5 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
18		ctinfom.inf	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
20		f1of 5375	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> `' N : NN0 --> om )
23		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
24	22, 23	ffvelrnd 5564	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( `' N ` m ) e. om )
25		peano2 4517	. . . . . 6 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
27	17, 19, 26	rspcdva 2798	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
28		f1of 5375	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
29	3, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
30	29	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> N : om --> NN0 )
31		simprl 521	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> k e. om )
32	30, 31	ffvelrnd 5564	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
33	10	fveq1i 5430	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` ( N ` k ) ) = ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) )
34	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
35		fvco3 5500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ ( N ` k ) e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
36	21, 34, 35	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
37	33, 36	syl5eq 2185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
38	31	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> k e. om )
39		f1ocnvfv1 5686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. om ) -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
40	3, 39	mpan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
41	40	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
43	37, 42	eqtrd 2173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` k ) )
44		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
45	43, 44	eqneltrd 2236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
46		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
47	10	fveq1i 5430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ` i ) = ( ( F o. `' N ) ` i )
48		elfznn0 9925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. NN0 )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i e. NN0 )
50		fvco3 5500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ i e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
51	21, 49, 50	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
52	47, 51	syl5eq 2185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
53		elfzle2 9839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i <_ m )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i <_ m )
55		0zd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
56	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
57	56, 49	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. om )
58	24	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
59	55, 2, 57, 58	frec2uzled 10233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
60		f1ocnvfv2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
61	3, 49, 60	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
62	23	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> m e. NN0 )
63		f1ocnvfv2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
64	3, 62, 63	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
65	61, 64	breq12d 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) <-> i <_ m ) )
66	59, 65	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> i <_ m ) )
67	54, 66	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) )
68		nnsssuc 6406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' N ` i ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
69	57, 58, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
70	67, 69	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) )
71	1	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om -onto-> A )
72		fof 5353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om --> A )
74	73	ffund 5284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> Fun F )
75	73	fdmd 5287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> dom F = om )
76	57, 75	eleqtrrd 2220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. dom F )
77		funfvima 5657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( `' N ` i ) e. dom F ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
79	70, 78	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
80	52, 79	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
81	80	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
82	46, 81	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
83	45, 82	mtand 655	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
84	83	neqned 2316	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
85	84	ralrimiva 2508	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
86		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` k ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( N ` k ) ) )
87	86	neeq1d 2327	. . . . . . 7 |- ( j = ( N ` k ) -> ( ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
88	87	ralbidv 2438	. . . . . 6 |- ( j = ( N ` k ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
89	88	rspcev 2793	. . . . 5 |- ( ( ( N ` k ) e. NN0 /\ A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
90	32, 85, 89	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
91	27, 90	rexlimddv 2557	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
92	91	ralrimiva 2508	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
93	13, 92	jca 304	1 |- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   omcom 4512   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   "cima 4550   o. ccom 4551   Fun wfun 5125   -->wf 5127   -onto->wfo 5129   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  ctinfom  11977