Theorem ctinfomlemom 12428

Description: Lemma for ctinfom 12429. Converting between om and NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctinfom.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ctinfom.g	|- G = ( F o. `' N )
ctinfom.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ctinfom.inf	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )

Assertion

Ref	Expression
ctinfomlemom	|- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   n, F   j, G, k   i, N, j, k   n, N, k   x, N, k   i, m, j, k   ph, i, k, m, x   m, n

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( x, i, j, k, m, n)   F( j, k, m)   G( x, i, m, n)   N( m)

Proof of Theorem ctinfomlemom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
2		ctinfom.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10428	. . . . . 6 |- N : om -1-1-onto-> NN0
4		f1ocnv 5475	. . . . . 6 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
6		f1ofo 5469	. . . . 5 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 -onto-> om )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- `' N : NN0 -onto-> om
8		foco 5449	. . . 4 |- ( ( F : om -onto-> A /\ `' N : NN0 -onto-> om ) -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
9	1, 7, 8	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
10		ctinfom.g	. . . 4 |- G = ( F o. `' N )
11		foeq1 5435	. . . 4 |- ( G = ( F o. `' N ) -> ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
13	9, 12	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> G : NN0 -onto-> A )
14		imaeq2 4967	. . . . . . . 8 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( F " n ) = ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
15	14	eleq2d 2247	. . . . . . 7 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
16	15	notbid 667	. . . . . 6 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
17	16	rexbidv 2478	. . . . 5 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
18		ctinfom.inf	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
20		f1of 5462	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> `' N : NN0 --> om )
23		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
24	22, 23	ffvelcdmd 5653	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( `' N ` m ) e. om )
25		peano2 4595	. . . . . 6 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
27	17, 19, 26	rspcdva 2847	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
28		f1of 5462	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
29	3, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
30	29	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> N : om --> NN0 )
31		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> k e. om )
32	30, 31	ffvelcdmd 5653	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
33	10	fveq1i 5517	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` ( N ` k ) ) = ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) )
34	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
35		fvco3 5588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ ( N ` k ) e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
36	21, 34, 35	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
37	33, 36	eqtrid 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
38	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> k e. om )
39		f1ocnvfv1 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. om ) -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
40	3, 39	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
41	40	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
43	37, 42	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` k ) )
44		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
45	43, 44	eqneltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
46		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
47	10	fveq1i 5517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ` i ) = ( ( F o. `' N ) ` i )
48		elfznn0 10114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. NN0 )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i e. NN0 )
50		fvco3 5588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ i e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
51	21, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
52	47, 51	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
53		elfzle2 10028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i <_ m )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i <_ m )
55		0zd 9265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
56	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
57	56, 49	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. om )
58	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
59	55, 2, 57, 58	frec2uzled 10429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
60		f1ocnvfv2 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
61	3, 49, 60	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
62	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> m e. NN0 )
63		f1ocnvfv2 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
64	3, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
65	61, 64	breq12d 4017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) <-> i <_ m ) )
66	59, 65	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> i <_ m ) )
67	54, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) )
68		nnsssuc 6503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' N ` i ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
69	57, 58, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
70	67, 69	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) )
71	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om -onto-> A )
72		fof 5439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om --> A )
74	73	ffund 5370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> Fun F )
75	73	fdmd 5373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> dom F = om )
76	57, 75	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. dom F )
77		funfvima 5749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( `' N ` i ) e. dom F ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
79	70, 78	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
80	52, 79	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
82	46, 81	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
83	45, 82	mtand 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
84	83	neqned 2354	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
85	84	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
86		fveq2 5516	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` k ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( N ` k ) ) )
87	86	neeq1d 2365	. . . . . . 7 |- ( j = ( N ` k ) -> ( ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
88	87	ralbidv 2477	. . . . . 6 |- ( j = ( N ` k ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
89	88	rspcev 2842	. . . . 5 |- ( ( ( N ` k ) e. NN0 /\ A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
90	32, 85, 89	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
91	27, 90	rexlimddv 2599	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
92	91	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
93	13, 92	jca 306	1 |- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   suc csuc 4366   omcom 4590   `'ccnv 4626   dom cdm 4627   "cima 4630   o. ccom 4631   Fun wfun 5211   -->wf 5213   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   <_ cle 7993   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by:  ctinfom  12429