Theorem ctinfomlemom 13296

Description: Lemma for ctinfom 13297. Converting between om and NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctinfom.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ctinfom.g	|- G = ( F o. `' N )
ctinfom.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ctinfom.inf	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )

Assertion

Ref	Expression
ctinfomlemom	|- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   n, F   j, G, k   i, N, j, k   n, N, k   x, N, k   i, m, j, k   ph, i, k, m, x   m, n

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( x, i, j, k, m, n)   F( j, k, m)   G( x, i, m, n)   N( m)

Proof of Theorem ctinfomlemom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
2		ctinfom.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10843	. . . . . 6 |- N : om -1-1-onto-> NN0
4		f1ocnv 5647	. . . . . 6 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
6		f1ofo 5641	. . . . 5 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 -onto-> om )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- `' N : NN0 -onto-> om
8		foco 5621	. . . 4 |- ( ( F : om -onto-> A /\ `' N : NN0 -onto-> om ) -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
9	1, 7, 8	sylancl 417	. . 3 |- ( ph -> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
10		ctinfom.g	. . . 4 |- G = ( F o. `' N )
11		foeq1 5606	. . . 4 |- ( G = ( F o. `' N ) -> ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( G : NN0 -onto-> A <-> ( F o. `' N ) : NN0 -onto-> A )
13	9, 12	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> G : NN0 -onto-> A )
14		imaeq2 5117	. . . . . . . 8 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( F " n ) = ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
15	14	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
16	15	notbid 677	. . . . . 6 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
17	16	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( n = suc ( `' N ` m ) -> ( E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) <-> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
18		ctinfom.inf	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " n ) )
20		f1of 5634	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> `' N : NN0 --> om )
23		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
24	22, 23	ffvelcdmd 5835	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( `' N ` m ) e. om )
25		peano2 4737	. . . . . 6 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
27	17, 19, 26	rspcdva 2934	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. k e. om -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
28		f1of 5634	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
29	3, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
30	29	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> N : om --> NN0 )
31		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> k e. om )
32	30, 31	ffvelcdmd 5835	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
33	10	fveq1i 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` ( N ` k ) ) = ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) )
34	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` k ) e. NN0 )
35		fvco3 5770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ ( N ` k ) e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
36	21, 34, 35	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
37	33, 36	eqtrid 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) )
38	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> k e. om )
39		f1ocnvfv1 5973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. om ) -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
40	3, 39	mpan 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( `' N ` ( N ` k ) ) = k )
41	40	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` ( N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
43	37, 42	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( F ` k ) )
44		simplrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
45	43, 44	eqneltrd 2334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
46		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
47	10	fveq1i 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ` i ) = ( ( F o. `' N ) ` i )
48		elfznn0 10499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. NN0 )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i e. NN0 )
50		fvco3 5770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' N : NN0 --> om /\ i e. NN0 ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
51	21, 49, 50	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( F o. `' N ) ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
52	47, 51	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( `' N ` i ) ) )
53		elfzle2 10411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i <_ m )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i <_ m )
55		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
56	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
57	56, 49	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. om )
58	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
59	55, 2, 57, 58	frec2uzled 10844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
60		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
61	3, 49, 60	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` i ) ) = i )
62	23	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> m e. NN0 )
63		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
64	3, 62, 63	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
65	61, 64	breq12d 4138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` i ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) <-> i <_ m ) )
66	59, 65	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> i <_ m ) )
67	54, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) )
68		nnsssuc 6765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' N ` i ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
69	57, 58, 68	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) ) )
70	67, 69	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) )
71	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om -onto-> A )
72		fof 5610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> F : om --> A )
74	73	ffund 5532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> Fun F )
75	73	fdmd 5535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> dom F = om )
76	57, 75	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( `' N ` i ) e. dom F )
77		funfvima 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( `' N ` i ) e. dom F ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( `' N ` i ) e. suc ( `' N ` m ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) )
79	70, 78	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( F ` ( `' N ` i ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
80	52, 79	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` i ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
82	46, 81	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) )
83	45, 82	mtand 675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> -. ( G ` ( N ` k ) ) = ( G ` i ) )
84	83	neqned 2427	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
85	84	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) )
86		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` k ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( N ` k ) ) )
87	86	neeq1d 2438	. . . . . . 7 |- ( j = ( N ` k ) -> ( ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
88	87	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( j = ( N ` k ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) )
89	88	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( ( N ` k ) e. NN0 /\ A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` ( N ` k ) ) =/= ( G ` i ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
90	32, 85, 89	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( k e. om /\ -. ( F ` k ) e. ( F " suc ( `' N ` m ) ) ) ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
91	27, 90	rexlimddv 2673	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
92	91	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) )
93	13, 92	jca 306	1 |- ( ph -> ( G : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( G ` j ) =/= ( G ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   "cima 4772   o. ccom 4773   Fun wfun 5366   -->wf 5368   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  ctinfom  13297