ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntr2 Unicode version
Theorem nntr2 6649
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4702 . . . . 5 |- ( C e. om -> C e. On )
21ad3antlr 493 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> C e. On )
3 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. B )
4 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. C )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> B e. C )
63, 5jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> ( A e. B /\ B e. C ) )
7 ontr1 4480 . . . 4 |- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. C )
9 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A = B )
104adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> B e. C )
119, 10eqeltrd 2306 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A e. C )
12 simplrl 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A C_ B )
13 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. A )
1412, 13sseldd 3225 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. B )
15 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> C e. om )
16 elnn 4698 . . . . . . 7 |- ( ( B e. C /\ C e. om ) -> B e. om )
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. om )
1817adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. om )
19 nnord 4704 . . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
20 ordirr 4634 . . . . 5 |- ( Ord B -> -. B e. B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> -. B e. B )
2214, 21pm2.21dd 623 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A e. C )
23 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. om )
24 nntri3or 6639 . . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2523, 17, 24syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1341 . 2 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. C )
2726ex 115 1 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   Ord word 4453   Oncon0 4454   omcom 4682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator