ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntr2 Unicode version

Theorem nntr2 6406
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )

Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4530 . . . . 5  |-  ( C  e.  om  ->  C  e.  On )
21ad3antlr 485 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  C  e.  On )
3 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
4 simprr 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  B  e.  C )
54adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  C )
63, 5jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  B  /\  B  e.  C
) )
7 ontr1 4318 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  C )
9 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  A  =  B )
104adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  B  e.  C )
119, 10eqeltrd 2217 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  A  e.  C )
12 simplrl 525 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  B )
13 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
1412, 13sseldd 3102 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  B )
15 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  C  e.  om )
16 elnn 4526 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  C  /\  C  e.  om )  ->  B  e.  om )
174, 15, 16syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  B  e.  om )
1817adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  om )
19 nnord 4532 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
20 ordirr 4464 . . . . 5  |-  ( Ord 
B  ->  -.  B  e.  B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  B
)
2214, 21pm2.21dd 610 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  C )
23 simpll 519 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  A  e.  om )
24 nntri3or 6396 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
2523, 17, 24syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )
)
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1286 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  A  e.  C )
2726ex 114 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 962    = wceq 1332    e. wcel 1481    C_ wss 3075   Ord word 4291   Oncon0 4292   omcom 4511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-int 3779  df-tr 4034  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator