ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntr2 Unicode version
Theorem nntr2 6670
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4708 . . . . 5 |- ( C e. om -> C e. On )
21ad3antlr 493 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> C e. On )
3 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. B )
4 simprr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. C )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> B e. C )
63, 5jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> ( A e. B /\ B e. C ) )
7 ontr1 4486 . . . 4 |- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. C )
9 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A = B )
104adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> B e. C )
119, 10eqeltrd 2308 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A e. C )
12 simplrl 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A C_ B )
13 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. A )
1412, 13sseldd 3228 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. B )
15 simplr 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> C e. om )
16 elnn 4704 . . . . . . 7 |- ( ( B e. C /\ C e. om ) -> B e. om )
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. om )
1817adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. om )
19 nnord 4710 . . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
20 ordirr 4640 . . . . 5 |- ( Ord B -> -. B e. B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> -. B e. B )
2214, 21pm2.21dd 625 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A e. C )
23 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. om )
24 nntri3or 6660 . . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2523, 17, 24syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1343 . 2 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. C )
2726ex 115 1 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   Ord word 4459   Oncon0 4460   omcom 4688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator