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Theorem nntr2 6561
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4646 . . . . 5 |- ( C e. om -> C e. On )
21ad3antlr 493 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> C e. On )
3 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. B )
4 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. C )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> B e. C )
63, 5jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> ( A e. B /\ B e. C ) )
7 ontr1 4424 . . . 4 |- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. C )
9 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A = B )
104adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> B e. C )
119, 10eqeltrd 2273 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A e. C )
12 simplrl 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A C_ B )
13 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. A )
1412, 13sseldd 3184 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. B )
15 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> C e. om )
16 elnn 4642 . . . . . . 7 |- ( ( B e. C /\ C e. om ) -> B e. om )
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. om )
1817adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. om )
19 nnord 4648 . . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
20 ordirr 4578 . . . . 5 |- ( Ord B -> -. B e. B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> -. B e. B )
2214, 21pm2.21dd 621 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A e. C )
23 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. om )
24 nntri3or 6551 . . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2523, 17, 24syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1318 . 2 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. C )
2726ex 115 1 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   Ord word 4397   Oncon0 4398   omcom 4626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627
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