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Theorem nntr2 6532
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )

Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4630 . . . . 5  |-  ( C  e.  om  ->  C  e.  On )
21ad3antlr 493 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  C  e.  On )
3 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
4 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  B  e.  C )
54adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  C )
63, 5jca 306 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  B  /\  B  e.  C
) )
7 ontr1 4410 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  C )
9 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  A  =  B )
104adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  B  e.  C )
119, 10eqeltrd 2266 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  A  e.  C )
12 simplrl 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  B )
13 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
1412, 13sseldd 3171 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  B )
15 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  C  e.  om )
16 elnn 4626 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  C  /\  C  e.  om )  ->  B  e.  om )
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  B  e.  om )
1817adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  om )
19 nnord 4632 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
20 ordirr 4562 . . . . 5  |-  ( Ord 
B  ->  -.  B  e.  B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  B
)
2214, 21pm2.21dd 621 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  C )
23 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  A  e.  om )
24 nntri3or 6522 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
2523, 17, 24syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )
)
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1318 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  A  e.  C )
2726ex 115 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ w3o 979    = wceq 1364    e. wcel 2160    C_ wss 3144   Ord word 4383   Oncon0 4384   omcom 4610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-uni 3828  df-int 3863  df-tr 4120  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611
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