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Theorem nntr2 6353
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )

Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4483 . . . . 5  |-  ( C  e.  om  ->  C  e.  On )
21ad3antlr 482 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  C  e.  On )
3 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
4 simprr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  B  e.  C )
54adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  C )
63, 5jca 302 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  B  /\  B  e.  C
) )
7 ontr1 4271 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  C )
9 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  A  =  B )
104adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  B  e.  C )
119, 10eqeltrd 2191 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  A  =  B )  ->  A  e.  C )
12 simplrl 507 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  B )
13 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
1412, 13sseldd 3064 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  B )
15 simplr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  C  e.  om )
16 elnn 4479 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  C  /\  C  e.  om )  ->  B  e.  om )
174, 15, 16syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  B  e.  om )
1817adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  om )
19 nnord 4485 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
20 ordirr 4417 . . . . 5  |-  ( Ord 
B  ->  -.  B  e.  B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  B
)
2214, 21pm2.21dd 592 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  ( A 
C_  B  /\  B  e.  C ) )  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  C )
23 simpll 501 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  A  e.  om )
24 nntri3or 6343 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
2523, 17, 24syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )
)
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1268 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  C_  B  /\  B  e.  C
) )  ->  A  e.  C )
2726ex 114 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 944    = wceq 1314    e. wcel 1463    C_ wss 3037   Ord word 4244   Oncon0 4245   omcom 4464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-tr 3987  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465
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