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Theorem nntr2 6353
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4483 . . . . 5 |- ( C e. om -> C e. On )
21ad3antlr 482 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> C e. On )
3 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. B )
4 simprr 504 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. C )
54adantr 272 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> B e. C )
63, 5jca 302 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> ( A e. B /\ B e. C ) )
7 ontr1 4271 . . . 4 |- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. C )
9 simpr 109 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A = B )
104adantr 272 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> B e. C )
119, 10eqeltrd 2191 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A e. C )
12 simplrl 507 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A C_ B )
13 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. A )
1412, 13sseldd 3064 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. B )
15 simplr 502 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> C e. om )
16 elnn 4479 . . . . . . 7 |- ( ( B e. C /\ C e. om ) -> B e. om )
174, 15, 16syl2anc 406 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. om )
1817adantr 272 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. om )
19 nnord 4485 . . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
20 ordirr 4417 . . . . 5 |- ( Ord B -> -. B e. B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> -. B e. B )
2214, 21pm2.21dd 592 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A e. C )
23 simpll 501 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. om )
24 nntri3or 6343 . . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2523, 17, 24syl2anc 406 . . 3 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1268 . 2 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. C )
2726ex 114 1 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 944   = wceq 1314   e. wcel 1463   C_ wss 3037   Ord word 4244   Oncon0 4245   omcom 4464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-tr 3987  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465
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