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Theorem nntr2 6462
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4581 . . . . 5 |- ( C e. om -> C e. On )
21ad3antlr 485 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> C e. On )
3 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. B )
4 simprr 522 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. C )
54adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> B e. C )
63, 5jca 304 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> ( A e. B /\ B e. C ) )
7 ontr1 4361 . . . 4 |- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
82, 6, 7sylc 62 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A e. B ) -> A e. C )
9 simpr 109 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A = B )
104adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> B e. C )
119, 10eqeltrd 2241 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ A = B ) -> A e. C )
12 simplrl 525 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A C_ B )
13 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. A )
1412, 13sseldd 3138 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. B )
15 simplr 520 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> C e. om )
16 elnn 4577 . . . . . . 7 |- ( ( B e. C /\ C e. om ) -> B e. om )
174, 15, 16syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> B e. om )
1817adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> B e. om )
19 nnord 4583 . . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
20 ordirr 4513 . . . . 5 |- ( Ord B -> -. B e. B )
2118, 19, 203syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> -. B e. B )
2214, 21pm2.21dd 610 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) /\ B e. A ) -> A e. C )
23 simpll 519 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. om )
24 nntri3or 6452 . . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2523, 17, 24syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1296 . 2 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ ( A C_ B /\ B e. C ) ) -> A e. C )
2726ex 114 1 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 966   = wceq 1342   e. wcel 2135   C_ wss 3111   Ord word 4334   Oncon0 4335   omcom 4561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-tr 4075  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562
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