Theorem nnsseleq 6397

Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsseleq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem nnsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri1 6392	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
2		nntri3or 6389	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 963	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 718	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 713	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	1, 6	sylbid 149	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4525	. . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
9	8	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> Ord B )
10		ordelss 4301	. . . . 5 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 114	. . . 4 |- ( Ord B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3151	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 706	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   Ord word 4284   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  nnsssuc  6398  frec2uzled  10202