Theorem nnsseleq 6734

Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsseleq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem nnsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri1 6729	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
2		nntri3or 6726	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 1006	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 737	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 732	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	1, 6	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4734	. . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> Ord B )
10		ordelss 4500	. . . . 5 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 115	. . . 4 |- ( Ord B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3292	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 725	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   Ord word 4483   omcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  nnsssuc  6735  frec2uzled  10791