Theorem nnsseleq 6302

Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsseleq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem nnsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri1 6297	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
2		nntri3or 6294	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 928	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 686	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 681	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	1, 6	sylbid 149	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4454	. . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
9	8	adantl 272	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> Ord B )
10		ordelss 4230	. . . . 5 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 114	. . . 4 |- ( Ord B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3093	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 675	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 667   \/ w3o 926   = wceq 1296   e. wcel 1445   C_ wss 3013   Ord word 4213   omcom 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-uni 3676  df-int 3711  df-tr 3959  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434

This theorem is referenced by:  frec2uzled  9985