ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsseleq Unicode version

Theorem nnsseleq 6397
Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsseleq  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( A  e.  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem nnsseleq
StepHypRef Expression
1 nntri1 6392 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
2 nntri3or 6389 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
3 df-3or 963 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B
)  \/  B  e.  A ) )
42, 3sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  \/  B  e.  A ) )
54orcomd 718 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  e.  A  \/  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
65ord 713 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
71, 6sylbid 149 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
8 nnord 4525 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
98adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  Ord  B )
10 ordelss 4301 . . . . 5  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
1110ex 114 . . . 4  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B ) )
129, 11syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
13 eqimss 3151 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  A  C_  B
) )
1512, 14jaod 706 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  ->  A  C_  B ) )
167, 15impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( A  e.  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3071   Ord word 4284   omcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  nnsssuc  6398  frec2uzled  10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator