Theorem nnsseleq 6587

Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsseleq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem nnsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri1 6582	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
2		nntri3or 6579	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 982	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 731	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 726	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	1, 6	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4660	. . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> Ord B )
10		ordelss 4426	. . . . 5 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 115	. . . 4 |- ( Ord B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3247	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 719	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   Ord word 4409   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  nnsssuc  6588  frec2uzled  10574