Theorem nnsseleq 6469

Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsseleq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem nnsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri1 6464	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
2		nntri3or 6461	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 969	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 719	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 714	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	1, 6	sylbid 149	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4589	. . . . 5 |- ( B e. om -> Ord B )
9	8	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> Ord B )
10		ordelss 4357	. . . . 5 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 114	. . . 4 |- ( Ord B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3196	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 707	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   Ord word 4340   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  nnsssuc  6470  frec2uzled  10364