Theorem mapprc 6546

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3388	. . . 4 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } <-> E. f f : A --> B )
2		fdm 5278	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
3		vex 2689	. . . . . . 7 |- f e. _V
4	3	dmex 4805	. . . . . 6 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2231	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
6	5	exlimiv 1577	. . . 4 |- ( E. f f : A --> B -> A e. _V )
7	1, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } -> A e. _V )
8	7	con3i 621	. 2 |- ( -. A e. _V -> -. E. g g e. { f | f : A --> B } )
9		notm0 3383	. 2 |- ( -. E. g g e. { f | f : A --> B } <-> { f | f : A --> B } = (/) )
10	8, 9	sylib 121	1 |- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   dom cdm 4539   -->wf 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fn 5126  df-f 5127

This theorem is referenced by: (None)