Theorem mapprc 6618

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3434	. . . 4 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } <-> E. f f : A --> B )
2		fdm 5343	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
3		vex 2729	. . . . . . 7 |- f e. _V
4	3	dmex 4870	. . . . . 6 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2258	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
6	5	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. f f : A --> B -> A e. _V )
7	1, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } -> A e. _V )
8	7	con3i 622	. 2 |- ( -. A e. _V -> -. E. g g e. { f | f : A --> B } )
9		notm0 3429	. 2 |- ( -. E. g g e. { f | f : A --> B } <-> { f | f : A --> B } = (/) )
10	8, 9	sylib 121	1 |- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   dom cdm 4604   -->wf 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fn 5191  df-f 5192

This theorem is referenced by: (None)