Theorem mapprc 6762

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3494	. . . 4 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } <-> E. f f : A --> B )
2		fdm 5451	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
3		vex 2779	. . . . . . 7 |- f e. _V
4	3	dmex 4964	. . . . . 6 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2299	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
6	5	exlimiv 1622	. . . 4 |- ( E. f f : A --> B -> A e. _V )
7	1, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } -> A e. _V )
8	7	con3i 633	. 2 |- ( -. A e. _V -> -. E. g g e. { f | f : A --> B } )
9		notm0 3489	. 2 |- ( -. E. g g e. { f | f : A --> B } <-> { f | f : A --> B } = (/) )
10	8, 9	sylib 122	1 |- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   _Vcvv 2776   (/)c0 3468   dom cdm 4693   -->wf 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fn 5293  df-f 5294

This theorem is referenced by: (None)