Theorem mapprc 6741

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3486	. . . 4 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } <-> E. f f : A --> B )
2		fdm 5433	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
3		vex 2775	. . . . . . 7 |- f e. _V
4	3	dmex 4946	. . . . . 6 |- dom f e. _V
5	2, 4	eqeltrrdi 2297	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
6	5	exlimiv 1621	. . . 4 |- ( E. f f : A --> B -> A e. _V )
7	1, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } -> A e. _V )
8	7	con3i 633	. 2 |- ( -. A e. _V -> -. E. g g e. { f | f : A --> B } )
9		notm0 3481	. 2 |- ( -. E. g g e. { f | f : A --> B } <-> { f | f : A --> B } = (/) )
10	8, 9	sylib 122	1 |- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   dom cdm 4676   -->wf 5268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-cnv 4684  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fn 5275  df-f 5276

This theorem is referenced by: (None)