Theorem mapprc 6423

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3312	. . . 4 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } <-> E. f f : A --> B )
2		fdm 5179	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
3		vex 2623	. . . . . . 7 |- f e. _V
4	3	dmex 4712	. . . . . 6 |- dom f e. _V
5	2, 4	syl6eqelr 2180	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
6	5	exlimiv 1535	. . . 4 |- ( E. f f : A --> B -> A e. _V )
7	1, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( E. g g e. { f | f : A --> B } -> A e. _V )
8	7	con3i 598	. 2 |- ( -. A e. _V -> -. E. g g e. { f | f : A --> B } )
9		notm0 3307	. 2 |- ( -. E. g g e. { f | f : A --> B } <-> { f | f : A --> B } = (/) )
10	8, 9	sylib 121	1 |- ( -. A e. _V -> { f | f : A --> B } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   {cab 2075   _Vcvv 2620   (/)c0 3287   dom cdm 4451   -->wf 5024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-cnv 4459  df-dm 4461  df-rn 4462  df-fn 5031  df-f 5032

This theorem is referenced by: (None)