Theorem ntreq0 14855

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S   x, X

Proof of Theorem ntreq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	ntrval 14833	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3	2	eqeq1d 2240	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) ) )
4		notm0 3515	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) )
5		ancom 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) )
6		elin 3390	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( J i^i ~P S ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P S ) )
7	6	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) )
8		anass 401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
9	5, 7, 8	3bitri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
10	9	exbii 1653	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
11		eluni 3896	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) )
12		df-rex 2516	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
14	13	exbii 1653	. . . . . 6 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
15		rexcom4 2826	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
16		19.42v 1955	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
17	16	rexbii 2539	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
18	14, 15, 17	3bitr2i 208	. . . . 5 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
19	18	notbii 674	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
20	4, 19	bitr3i 186	. . 3 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
21		ralinexa 2559	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
22		velpw 3659	. . . . 5 |- ( x e. ~P S <-> x C_ S )
23		notm0 3515	. . . . 5 |- ( -. E. y y e. x <-> x = (/) )
24	22, 23	imbi12i 239	. . . 4 |- ( ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> ( x C_ S -> x = (/) ) )
25	24	ralbii 2538	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
26	20, 21, 25	3bitr2i 208	. 2 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
27	3, 26	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   ` cfv 5326   Topctop 14720   intcnt 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-top 14721  df-ntr 14819

This theorem is referenced by: (None)