Theorem ntreq0 14368

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S   x, X

Proof of Theorem ntreq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	ntrval 14346	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3	2	eqeq1d 2205	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) ) )
4		notm0 3471	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) )
5		ancom 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) )
6		elin 3346	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( J i^i ~P S ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P S ) )
7	6	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) )
8		anass 401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
9	5, 7, 8	3bitri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
10	9	exbii 1619	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
11		eluni 3842	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) )
12		df-rex 2481	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
14	13	exbii 1619	. . . . . 6 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
15		rexcom4 2786	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
16		19.42v 1921	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
17	16	rexbii 2504	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
18	14, 15, 17	3bitr2i 208	. . . . 5 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
19	18	notbii 669	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
20	4, 19	bitr3i 186	. . 3 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
21		ralinexa 2524	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
22		velpw 3612	. . . . 5 |- ( x e. ~P S <-> x C_ S )
23		notm0 3471	. . . . 5 |- ( -. E. y y e. x <-> x = (/) )
24	22, 23	imbi12i 239	. . . 4 |- ( ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> ( x C_ S -> x = (/) ) )
25	24	ralbii 2503	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
26	20, 21, 25	3bitr2i 208	. 2 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
27	3, 26	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   U.cuni 3839   ` cfv 5258   Topctop 14233   intcnt 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-top 14234  df-ntr 14332

This theorem is referenced by: (None)