Theorem ntreq0 15123

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S   x, X

Proof of Theorem ntreq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	ntrval 15101	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3	2	eqeq1d 2243	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) ) )
4		notm0 3533	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) )
5		ancom 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) )
6		elin 3406	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( J i^i ~P S ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P S ) )
7	6	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) )
8		anass 401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
9	5, 7, 8	3bitri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
10	9	exbii 1654	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
11		eluni 3922	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) )
12		df-rex 2528	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
14	13	exbii 1654	. . . . . 6 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
15		rexcom4 2839	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
16		19.42v 1958	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
17	16	rexbii 2551	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
18	14, 15, 17	3bitr2i 208	. . . . 5 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
19	18	notbii 674	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
20	4, 19	bitr3i 186	. . 3 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
21		ralinexa 2571	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
22		velpw 3681	. . . . 5 |- ( x e. ~P S <-> x C_ S )
23		notm0 3533	. . . . 5 |- ( -. E. y y e. x <-> x = (/) )
24	22, 23	imbi12i 239	. . . 4 |- ( ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> ( x C_ S -> x = (/) ) )
25	24	ralbii 2550	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
26	20, 21, 25	3bitr2i 208	. 2 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
27	3, 26	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   U.cuni 3919   ` cfv 5357   Topctop 14988   intcnt 15084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-top 14989  df-ntr 15087

This theorem is referenced by: (None)