Theorem ntreq0 14800

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S   x, X

Proof of Theorem ntreq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	ntrval 14778	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3	2	eqeq1d 2238	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) ) )
4		notm0 3512	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> U. ( J i^i ~P S ) = (/) )
5		ancom 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) )
6		elin 3387	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( J i^i ~P S ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P S ) )
7	6	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( J i^i ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) )
8		anass 401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ~P S ) /\ y e. x ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
9	5, 7, 8	3bitri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
10	9	exbii 1651	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
11		eluni 3890	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. ( J i^i ~P S ) ) )
12		df-rex 2514	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x ( x e. J /\ ( x e. ~P S /\ y e. x ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
14	13	exbii 1651	. . . . . 6 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
15		rexcom4 2823	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. y E. x e. J ( x e. ~P S /\ y e. x ) )
16		19.42v 1953	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
17	16	rexbii 2537	. . . . . 6 |- ( E. x e. J E. y ( x e. ~P S /\ y e. x ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
18	14, 15, 17	3bitr2i 208	. . . . 5 |- ( E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
19	18	notbii 672	. . . 4 |- ( -. E. y y e. U. ( J i^i ~P S ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
20	4, 19	bitr3i 186	. . 3 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
21		ralinexa 2557	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> -. E. x e. J ( x e. ~P S /\ E. y y e. x ) )
22		velpw 3656	. . . . 5 |- ( x e. ~P S <-> x C_ S )
23		notm0 3512	. . . . 5 |- ( -. E. y y e. x <-> x = (/) )
24	22, 23	imbi12i 239	. . . 4 |- ( ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> ( x C_ S -> x = (/) ) )
25	24	ralbii 2536	. . 3 |- ( A. x e. J ( x e. ~P S -> -. E. y y e. x ) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
26	20, 21, 25	3bitr2i 208	. 2 |- ( U. ( J i^i ~P S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) )
27	3, 26	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = (/) <-> A. x e. J ( x C_ S -> x = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   U.cuni 3887   ` cfv 5317   Topctop 14665   intcnt 14761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-top 14666  df-ntr 14764

This theorem is referenced by: (None)