Theorem notm0 3429

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3427	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2		alnex 1487	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	bitr2i 184	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104  ∀wal 1341   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∅c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410

This theorem is referenced by:  disjnim  3973  pwntru  4178  exmidn0m  4180  mapprc  6618  map0g  6654  ixpprc  6685  ixp0  6697  exmidfodomrlemim  7157  ntreq0  12772  blssioo  13185  pwtrufal  13877