Theorem notm0 3388

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3386	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2		alnex 1476	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	bitr2i 184	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104  ∀wal 1330   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∅c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369

This theorem is referenced by:  disjnim  3928  pwntru  4130  exmidn0m  4132  mapprc  6554  map0g  6590  ixpprc  6621  ixp0  6633  exmidfodomrlemim  7074  ntreq0  12340  blssioo  12753  pwtrufal  13365