Theorem notm0 3435

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3433	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2		alnex 1492	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	bitr2i 184	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104  ∀wal 1346   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415

This theorem is referenced by:  disjnim  3980  pwntru  4185  exmidn0m  4187  mapprc  6630  map0g  6666  ixpprc  6697  ixp0  6709  exmidfodomrlemim  7178  ntreq0  12926  blssioo  13339  pwtrufal  14030