ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blssioo Unicode version

Theorem blssioo 12751
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
blssioo  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)

Proof of Theorem blssioo
Dummy variables  r  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 12747 . . . 4  |-  D  e.  ( *Met `  RR )
3 blrn 12618 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  (
z  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. y  e.  RR  E. r  e. 
RR*  z  =  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( z  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. y  e.  RR  E. r  e. 
RR*  z  =  ( y ( ball `  D
) r ) )
5 elxr 9592 . . . . . 6  |-  ( r  e.  RR*  <->  ( r  e.  RR  \/  r  = +oo  \/  r  = -oo ) )
61bl2ioo 12748 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( y ( ball `  D ) r )  =  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) ) )
7 resubcl 8049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( y  -  r
)  e.  RR )
8 readdcl 7769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( y  +  r )  e.  RR )
9 rexr 7834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR  ->  (
y  -  r )  e.  RR* )
10 rexr 7834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  r )  e.  RR  ->  (
y  +  r )  e.  RR* )
11 ioorebasg 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  -  r
)  e.  RR*  /\  (
y  +  r )  e.  RR* )  ->  (
( y  -  r
) (,) ( y  +  r ) )  e.  ran  (,) )
129, 10, 11syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  -  r
)  e.  RR  /\  ( y  +  r )  e.  RR )  ->  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  e.  ran  (,) )
137, 8, 12syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) )  e.  ran  (,) )
146, 13eqeltrd 2217 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( y ( ball `  D ) r )  e.  ran  (,) )
15 oveq2 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( r  = +oo  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) +oo )
)
161remet 12746 . . . . . . . . . 10  |-  D  e.  ( Met `  RR )
17 blpnf 12606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ( ball `  D
) +oo )  =  RR )
1816, 17mpan 421 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ( ball `  D
) +oo )  =  RR )
1915, 18sylan9eqr 2195 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  = +oo )  ->  ( y ( ball `  D ) r )  =  RR )
20 ioomax 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
21 mnfxr 7845 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e.  RR*
22 pnfxr 7841 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
23 ioorebasg 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo (,) +oo )  e. 
ran  (,) )
2421, 22, 23mp2an 423 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,)
2520, 24eqeltrri 2214 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  ran  (,)
2619, 25eqeltrdi 2231 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  = +oo )  ->  ( y ( ball `  D ) r )  e.  ran  (,) )
27 oveq2 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( r  = -oo  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) -oo )
)
28 0xr 7835 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
29 nltmnf 9603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR*  ->  -.  0  < -oo )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  < -oo
31 xblm 12623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  y  e.  RR  /\ -oo  e.  RR* )  ->  ( E. w  w  e.  ( y ( ball `  D ) -oo )  <->  0  < -oo ) )
322, 21, 31mp3an13 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  ( E. w  w  e.  ( y ( ball `  D ) -oo )  <->  0  < -oo ) )
3330, 32mtbiri 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  E. w  w  e.  ( y ( ball `  D
) -oo ) )
34 notm0 3387 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. w  w  e.  ( y ( ball `  D ) -oo )  <->  ( y ( ball `  D
) -oo )  =  (/) )
3533, 34sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ( ball `  D
) -oo )  =  (/) )
3627, 35sylan9eqr 2195 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  = -oo )  ->  ( y ( ball `  D ) r )  =  (/) )
37 iooidg 9721 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0 (,) 0 )  =  (/) )
3828, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) 0 )  =  (/)
39 ioorebasg 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
0 (,) 0 )  e.  ran  (,) )
4028, 28, 39mp2an 423 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) 0 )  e. 
ran  (,)
4138, 40eqeltrri 2214 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ran  (,)
4236, 41eqeltrdi 2231 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  = -oo )  ->  ( y ( ball `  D ) r )  e.  ran  (,) )
4314, 26, 423jaodan 1285 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( r  e.  RR  \/  r  = +oo  \/  r  = -oo ) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  e. 
ran  (,) )
445, 43sylan2b 285 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR* )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  e.  ran  (,) )
45 eleq1 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
z  e.  ran  (,)  <->  (
y ( ball `  D
) r )  e. 
ran  (,) ) )
4644, 45syl5ibrcom 156 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR* )  -> 
( z  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
z  e.  ran  (,) ) )
4746rexlimivv 2558 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. r  e.  RR*  z  =  ( y ( ball `  D ) r )  ->  z  e.  ran  (,) )
484, 47sylbi 120 . 2  |-  ( z  e.  ran  ( ball `  D )  ->  z  e.  ran  (,) )
4948ssriv 3105 1  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 962    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   E.wrex 2418    C_ wss 3075   (/)c0 3367   class class class wbr 3936    X. cxp 4544   ran crn 4547    |` cres 4548    o. ccom 4550   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   RRcr 7642   0cc0 7643    + caddc 7646   +oocpnf 7820   -oocmnf 7821   RR*cxr 7822    < clt 7823    - cmin 7956   (,)cioo 9700   abscabs 10800   *Metcxmet 12186   Metcmet 12187   ballcbl 12188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-xadd 9589  df-ioo 9704  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196
This theorem is referenced by:  tgioo  12752
  Copyright terms: Public domain W3C validator