Theorem blssioo 13086

Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )

Assertion

Ref	Expression
blssioo	|- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)

Proof of Theorem blssioo

Dummy variables r y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 13082	. . . 4 |- D e. ( *Met ` RR )
3		blrn 12953	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( z e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. RR E. r e. RR* z = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( z e. ran ( ball ` D ) <-> E. y e. RR E. r e. RR* z = ( y ( ball ` D ) r ) )
5		elxr 9703	. . . . . 6 |- ( r e. RR* <-> ( r e. RR \/ r = +oo \/ r = -oo ) )
6	1	bl2ioo 13083	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( ( y - r ) (,) ( y + r ) ) )
7		resubcl 8153	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR ) -> ( y - r ) e. RR )
8		readdcl 7870	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR ) -> ( y + r ) e. RR )
9		rexr 7935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y - r ) e. RR -> ( y - r ) e. RR* )
10		rexr 7935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y + r ) e. RR -> ( y + r ) e. RR* )
11		ioorebasg 9902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y - r ) e. RR* /\ ( y + r ) e. RR* ) -> ( ( y - r ) (,) ( y + r ) ) e. ran (,) )
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y - r ) e. RR /\ ( y + r ) e. RR ) -> ( ( y - r ) (,) ( y + r ) ) e. ran (,) )
13	7, 8, 12	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( y - r ) (,) ( y + r ) ) e. ran (,) )
14	6, 13	eqeltrd 2241	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) e. ran (,) )
15		oveq2 5844	. . . . . . . . 9 |- ( r = +oo -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) +oo ) )
16	1	remet 13081	. . . . . . . . . 10 |- D e. ( Met ` RR )
17		blpnf 12941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` RR ) /\ y e. RR ) -> ( y ( ball ` D ) +oo ) = RR )
18	16, 17	mpan 421	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y ( ball ` D ) +oo ) = RR )
19	15, 18	sylan9eqr 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ r = +oo ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = RR )
20		ioomax 9875	. . . . . . . . 9 |- ( -oo (,) +oo ) = RR
21		mnfxr 7946	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
22		pnfxr 7942	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
23		ioorebasg 9902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) e. ran (,) )
24	21, 22, 23	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( -oo (,) +oo ) e. ran (,)
25	20, 24	eqeltrri 2238	. . . . . . . 8 |- RR e. ran (,)
26	19, 25	eqeltrdi 2255	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ r = +oo ) -> ( y ( ball ` D ) r ) e. ran (,) )
27		oveq2 5844	. . . . . . . . 9 |- ( r = -oo -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) -oo ) )
28		0xr 7936	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
29		nltmnf 9715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR* -> -. 0 < -oo )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 < -oo
31		xblm 12958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ y e. RR /\ -oo e. RR* ) -> ( E. w w e. ( y ( ball ` D ) -oo ) <-> 0 < -oo ) )
32	2, 21, 31	mp3an13 1317	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( E. w w e. ( y ( ball ` D ) -oo ) <-> 0 < -oo ) )
33	30, 32	mtbiri 665	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> -. E. w w e. ( y ( ball ` D ) -oo ) )
34		notm0 3424	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. w w e. ( y ( ball ` D ) -oo ) <-> ( y ( ball ` D ) -oo ) = (/) )
35	33, 34	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y ( ball ` D ) -oo ) = (/) )
36	27, 35	sylan9eqr 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ r = -oo ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = (/) )
37		iooidg 9836	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 (,) 0 ) = (/) )
38	28, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) 0 ) = (/)
39		ioorebasg 9902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( 0 (,) 0 ) e. ran (,) )
40	28, 28, 39	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) 0 ) e. ran (,)
41	38, 40	eqeltrri 2238	. . . . . . . 8 |- (/) e. ran (,)
42	36, 41	eqeltrdi 2255	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ r = -oo ) -> ( y ( ball ` D ) r ) e. ran (,) )
43	14, 26, 42	3jaodan 1295	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ ( r e. RR \/ r = +oo \/ r = -oo ) ) -> ( y ( ball ` D ) r ) e. ran (,) )
44	5, 43	sylan2b 285	. . . . 5 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` D ) r ) e. ran (,) )
45		eleq1 2227	. . . . 5 |- ( z = ( y ( ball ` D ) r ) -> ( z e. ran (,) <-> ( y ( ball ` D ) r ) e. ran (,) ) )
46	44, 45	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR* ) -> ( z = ( y ( ball ` D ) r ) -> z e. ran (,) ) )
47	46	rexlimivv 2587	. . 3 |- ( E. y e. RR E. r e. RR* z = ( y ( ball ` D ) r ) -> z e. ran (,) )
48	4, 47	sylbi 120	. 2 |- ( z e. ran ( ball ` D ) -> z e. ran (,) )
49	48	ssriv 3141	1 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 966   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   E.wrex 2443   C_ wss 3111   (/)c0 3404   class class class wbr 3976   X. cxp 4596   ran crn 4599   |` cres 4600   o. ccom 4602   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   RRcr 7743   0cc0 7744   + caddc 7747   +oocpnf 7921   -oocmnf 7922   RR*cxr 7923   < clt 7924   - cmin 8060   (,)cioo 9815   abscabs 10925   *Metcxmet 12521   Metcmet 12522   ballcbl 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-map 6607  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-rp 9581  df-xadd 9700  df-ioo 9819  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-psmet 12528  df-xmet 12529  df-met 12530  df-bl 12531

This theorem is referenced by:  tgioo  13087