Theorem onunsnss 6973

Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
onunsnss	|- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Proof of Theorem onunsnss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4573	. . . . 5 |- -. B e. B
2		elsni 3636	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> x = B )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x = B )
4		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x e. B )
5	3, 4	eqeltrrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> B e. B )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. { B } -> B e. B ) )
7	1, 6	mtoi 665	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> -. x e. { B } )
8		snidg 3647	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> B e. { B } )
9		elun2 3327	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { B } -> B e. ( A u. { B } ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> B e. ( A u. { B } ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B e. ( A u. { B } ) )
12		ontr1 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. { B } ) e. On -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
14	11, 13	mpan2d 428	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. ( A u. { B } ) ) )
15	14	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. ( A u. { B } ) )
16		elun 3300	. . . . 5 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
18	7, 17	ecased 1360	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. A )
19	18	ex 115	. 2 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
20	19	ssrdv 3185	1 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   C_ wss 3153   {csn 3618   Oncon0 4394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399

This theorem is referenced by: (None)