Theorem onunsnss 6894

Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
onunsnss	|- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Proof of Theorem onunsnss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4525	. . . . 5 |- -. B e. B
2		elsni 3601	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> x = B )
3	2	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x = B )
4		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x e. B )
5	3, 4	eqeltrrd 2248	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> B e. B )
6	5	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. { B } -> B e. B ) )
7	1, 6	mtoi 659	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> -. x e. { B } )
8		snidg 3612	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> B e. { B } )
9		elun2 3295	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { B } -> B e. ( A u. { B } ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> B e. ( A u. { B } ) )
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B e. ( A u. { B } ) )
12		ontr1 4374	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. { B } ) e. On -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
14	11, 13	mpan2d 426	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. ( A u. { B } ) ) )
15	14	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. ( A u. { B } ) )
16		elun 3268	. . . . 5 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
17	15, 16	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
18	7, 17	ecased 1344	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. A )
19	18	ex 114	. 2 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
20	19	ssrdv 3153	1 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353

This theorem is referenced by: (None)