Theorem onunsnss 7067

Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
onunsnss	|- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Proof of Theorem onunsnss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4630	. . . . 5 |- -. B e. B
2		elsni 3684	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> x = B )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x = B )
4		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x e. B )
5	3, 4	eqeltrrd 2307	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> B e. B )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. { B } -> B e. B ) )
7	1, 6	mtoi 668	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> -. x e. { B } )
8		snidg 3695	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> B e. { B } )
9		elun2 3372	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { B } -> B e. ( A u. { B } ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> B e. ( A u. { B } ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B e. ( A u. { B } ) )
12		ontr1 4477	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. { B } ) e. On -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
14	11, 13	mpan2d 428	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. ( A u. { B } ) ) )
15	14	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. ( A u. { B } ) )
16		elun 3345	. . . . 5 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
18	7, 17	ecased 1383	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. A )
19	18	ex 115	. 2 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
20	19	ssrdv 3230	1 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   C_ wss 3197   {csn 3666   Oncon0 4451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-uni 3888  df-tr 4182  df-iord 4454  df-on 4456

This theorem is referenced by: (None)