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Theorem onunsnss 6862
Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
onunsnss  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)

Proof of Theorem onunsnss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirr 4501 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
2 elsni 3578 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
32adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  =  B )
4 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  e.  B )
53, 4eqeltrrd 2235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  B  e.  B )
65ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  { B }  ->  B  e.  B ) )
71, 6mtoi 654 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  { B } )
8 snidg 3589 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { B } )
9 elun2 3275 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
1110adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
12 ontr1 4350 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  On  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1312adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1411, 13mpan2d 425 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1514imp 123 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
16 elun 3248 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
1715, 16sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
187, 17ecased 1331 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
1918ex 114 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  A ) )
2019ssrdv 3134 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128    u. cun 3100    C_ wss 3102   {csn 3560   Oncon0 4324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-setind 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-uni 3774  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329
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