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Theorem onunsnss 6894
Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
onunsnss  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)

Proof of Theorem onunsnss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirr 4525 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
2 elsni 3601 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
32adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  =  B )
4 simplr 525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  e.  B )
53, 4eqeltrrd 2248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  B  e.  B )
65ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  { B }  ->  B  e.  B ) )
71, 6mtoi 659 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  { B } )
8 snidg 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { B } )
9 elun2 3295 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
1110adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
12 ontr1 4374 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  On  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1312adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1411, 13mpan2d 426 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1514imp 123 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
16 elun 3268 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
1715, 16sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
187, 17ecased 1344 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
1918ex 114 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  A ) )
2019ssrdv 3153 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141    u. cun 3119    C_ wss 3121   {csn 3583   Oncon0 4348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353
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