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Theorem onunsnss 6934
Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
onunsnss  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)

Proof of Theorem onunsnss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirr 4555 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
2 elsni 3625 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
32adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  =  B )
4 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  e.  B )
53, 4eqeltrrd 2267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  B  e.  B )
65ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  { B }  ->  B  e.  B ) )
71, 6mtoi 665 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  { B } )
8 snidg 3636 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { B } )
9 elun2 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
1110adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
12 ontr1 4404 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  On  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1312adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1411, 13mpan2d 428 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1514imp 124 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
16 elun 3291 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
1715, 16sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
187, 17ecased 1360 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
1918ex 115 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  A ) )
2019ssrdv 3176 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142    C_ wss 3144   {csn 3607   Oncon0 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4381  df-on 4383
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