Theorem onunsnss 6862

Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
onunsnss	|- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Proof of Theorem onunsnss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4501	. . . . 5 |- -. B e. B
2		elsni 3578	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> x = B )
3	2	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x = B )
4		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> x e. B )
5	3, 4	eqeltrrd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) /\ x e. { B } ) -> B e. B )
6	5	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. { B } -> B e. B ) )
7	1, 6	mtoi 654	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> -. x e. { B } )
8		snidg 3589	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> B e. { B } )
9		elun2 3275	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { B } -> B e. ( A u. { B } ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> B e. ( A u. { B } ) )
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B e. ( A u. { B } ) )
12		ontr1 4350	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. { B } ) e. On -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( ( x e. B /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) ) )
14	11, 13	mpan2d 425	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. ( A u. { B } ) ) )
15	14	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. ( A u. { B } ) )
16		elun 3248	. . . . 5 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
17	15, 16	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
18	7, 17	ecased 1331	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) /\ x e. B ) -> x e. A )
19	18	ex 114	. 2 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
20	19	ssrdv 3134	1 |- ( ( B e. V /\ ( A u. { B } ) e. On ) -> B C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   C_ wss 3102   {csn 3560   Oncon0 4324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-setind 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-uni 3774  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329

This theorem is referenced by: (None)