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Theorem onunsnss 6929
Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
onunsnss  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)

Proof of Theorem onunsnss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirr 4552 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
2 elsni 3622 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
32adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  =  B )
4 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  e.  B )
53, 4eqeltrrd 2265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  B  e.  B )
65ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  { B }  ->  B  e.  B ) )
71, 6mtoi 665 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  { B } )
8 snidg 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { B } )
9 elun2 3315 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
1110adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
12 ontr1 4401 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  On  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1312adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1411, 13mpan2d 428 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1514imp 124 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
16 elun 3288 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
1715, 16sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
187, 17ecased 1359 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
1918ex 115 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  A ) )
2019ssrdv 3173 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    = wceq 1363    e. wcel 2158    u. cun 3139    C_ wss 3141   {csn 3604   Oncon0 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-uni 3822  df-tr 4114  df-iord 4378  df-on 4380
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