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Theorem elirr 4357
Description: No class is a member of itself. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 22.

The reason that this theorem is marked as discouraged is a bit subtle. If we wanted to reduce usage of ax-setind 4353, we could redefine  Ord  A (df-iord 4193) to also require  _E 
Fr  A (df-frind 4159) and in that case any theorem related to irreflexivity of ordinals could use ordirr 4358 (which under that definition would presumably not need ax-setind 4353 to prove it). But since ordinals have not yet been defined that way, we cannot rely on the "don't add additional axiom use" feature of the minimizer to get theorems to use ordirr 4358. To encourage ordirr 4358 when possible, we mark this theorem as discouraged.

(Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 26-Nov-2018.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
elirr  |-  -.  A  e.  A

Proof of Theorem elirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neldifsnd 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) ) )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A } ) )
2 simp1 943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  /\  x  =  A )  ->  A  e.  A )
3 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
4 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A }
)  <->  A  e.  ( _V  \  { A }
) ) )
53, 4imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A }
) )  <->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) ) ) )
65spcgv 2706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  -> 
( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A }
) ) ) )
76pm2.43b 51 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  -> 
( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A }
) ) )
873ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A }
) ) )
9 eleq2 2151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  A ) )
109imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A }
) )  <->  ( A  e.  A  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) ) ) )
11103ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) )  <->  ( A  e.  A  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) ) ) )
128, 11mpbid 145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( A  e.  A  ->  A  e.  ( _V 
\  { A }
) ) )
132, 12mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  /\  x  =  A )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A }
) )
14133expia 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) ) )  ->  ( x  =  A  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
151, 14mtod 624 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
16 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
17 eldif 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A } )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  { A } ) )
1816, 17mpbiran 886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A } )  <->  -.  x  e.  { A } )
19 velsn 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
2018, 19xchbinx 642 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A } )  <->  -.  x  =  A )
2115, 20sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  A  /\  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) )
2221ex 113 . . . . . 6  |-  ( A  e.  A  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
2322alrimiv 1802 . . . . 5  |-  ( A  e.  A  ->  A. x
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  ( _V 
\  { A }
) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
24 df-ral 2364 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A }
)  <->  A. y ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
25 clelsb3 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A }
)  <->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )
2625imbi2i 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A }
) )  <->  ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
2726albii 1404 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A } ) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A }
) ) )
2824, 27bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A }
)  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
2928imbi1i 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
3029albii 1404 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) )  <->  A. x
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  ( _V 
\  { A }
) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
3123, 30sylibr 132 . . . 4  |-  ( A  e.  A  ->  A. x
( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
32 ax-setind 4353 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A } ) )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A } ) )
3331, 32syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  A  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A } ) )
34 eleq1 2150 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( _V 
\  { A }
)  <->  A  e.  ( _V  \  { A }
) ) )
3534spcgv 2706 . . 3  |-  ( A  e.  A  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A } )  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) ) )
3633, 35mpd 13 . 2  |-  ( A  e.  A  ->  A  e.  ( _V  \  { A } ) )
37 neldifsnd 3571 . 2  |-  ( A  e.  A  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A } ) )
3836, 37pm2.65i 603 1  |-  -.  A  e.  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   [wsb 1692   A.wral 2359   _Vcvv 2619    \ cdif 2996   {csn 3446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-v 2621  df-dif 3001  df-sn 3452
This theorem is referenced by:  ordirr  4358  elirrv  4364  sucprcreg  4365  ordsoexmid  4378  onnmin  4384  ssnel  4385  ordtri2or2exmid  4387  reg3exmidlemwe  4394  nntri2  6255  nntri3  6258  nndceq  6260  nndcel  6261  phpelm  6580  fiunsnnn  6595  onunsnss  6625  snon0  6643
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