Theorem elirr 4574

Description: No class is a member of itself. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 22.

The reason that this theorem is marked as discouraged is a bit subtle. If we wanted to reduce usage of ax-setind 4570, we could redefine Ord A (df-iord 4398) to also require _E Fr A (df-frind 4364) and in that case any theorem related to irreflexivity of ordinals could use ordirr 4575 (which under that definition would presumably not need ax-setind 4570 to prove it). But since ordinals have not yet been defined that way, we cannot rely on the "don't add additional axiom use" feature of the minimizer to get theorems to use ordirr 4575. To encourage ordirr 4575 when possible, we mark this theorem as discouraged.

(Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 26-Nov-2018.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elirr	|- -. A e. A

Proof of Theorem elirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 3750	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> -. A e. ( _V \ { A } ) )
2		simp1 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> A e. A )
3		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( y e. x <-> A e. x ) )
4		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( y e. ( _V \ { A } ) <-> A e. ( _V \ { A } ) ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = A -> ( ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
6	5	spcgv 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. x -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
7	6	pm2.43b 52	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
8	7	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
9		eleq2 2257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
10	9	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
11	10	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> ( ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
12	8, 11	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
13	2, 12	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> A e. ( _V \ { A } ) )
14	13	3expia 1207	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> ( x = A -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
15	1, 14	mtod 664	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> -. x = A )
16		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		eldif 3163	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _V \ { A } ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. { A } ) )
18	16, 17	mpbiran 942	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( _V \ { A } ) <-> -. x e. { A } )
19		velsn 3636	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A } <-> x = A )
20	18, 19	xchbinx 683	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( _V \ { A } ) <-> -. x = A )
21	15, 20	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) )
22	21	ex 115	. . . . . 6 |- ( A e. A -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
23	22	alrimiv 1885	. . . . 5 |- ( A e. A -> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
24		df-ral 2477	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) <-> A. y ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) ) )
25		clelsb1 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) <-> y e. ( _V \ { A } ) )
26	25	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) )
27	26	albii 1481	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) ) <-> A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) )
28	24, 27	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) <-> A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) )
29	28	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
30	29	albii 1481	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
31	23, 30	sylibr 134	. . . 4 |- ( A e. A -> A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
32		ax-setind 4570	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) -> A. x x e. ( _V \ { A } ) )
33	31, 32	syl 14	. . 3 |- ( A e. A -> A. x x e. ( _V \ { A } ) )
34		eleq1 2256	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. ( _V \ { A } ) <-> A e. ( _V \ { A } ) ) )
35	34	spcgv 2848	. . 3 |- ( A e. A -> ( A. x x e. ( _V \ { A } ) -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
36	33, 35	mpd 13	. 2 |- ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) )
37		neldifsnd 3750	. 2 |- ( A e. A -> -. A e. ( _V \ { A } ) )
38	36, 37	pm2.65i 640	1 |- -. A e. A

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   [wsb 1773   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   {csn 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3156  df-sn 3625

This theorem is referenced by:  ordirr  4575  elirrv  4581  sucprcreg  4582  ordsoexmid  4595  onnmin  4601  ssnel  4602  ordtri2or2exmid  4604  reg3exmidlemwe  4612  nntri2  6549  nntri3  6552  nndceq  6554  nndcel  6555  phpelm  6924  fiunsnnn  6939  onunsnss  6975  snon0  6996