Theorem elirr 4589

Description: No class is a member of itself. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 22.

The reason that this theorem is marked as discouraged is a bit subtle. If we wanted to reduce usage of ax-setind 4585, we could redefine Ord A (df-iord 4413) to also require _E Fr A (df-frind 4379) and in that case any theorem related to irreflexivity of ordinals could use ordirr 4590 (which under that definition would presumably not need ax-setind 4585 to prove it). But since ordinals have not yet been defined that way, we cannot rely on the "don't add additional axiom use" feature of the minimizer to get theorems to use ordirr 4590. To encourage ordirr 4590 when possible, we mark this theorem as discouraged.

(Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 26-Nov-2018.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elirr	|- -. A e. A

Proof of Theorem elirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 3764	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> -. A e. ( _V \ { A } ) )
2		simp1 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> A e. A )
3		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( y e. x <-> A e. x ) )
4		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( y e. ( _V \ { A } ) <-> A e. ( _V \ { A } ) ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = A -> ( ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
6	5	spcgv 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. x -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
7	6	pm2.43b 52	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
8	7	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
9		eleq2 2269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
10	9	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
11	10	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> ( ( A e. x -> A e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) ) ) )
12	8, 11	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
13	2, 12	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) /\ x = A ) -> A e. ( _V \ { A } ) )
14	13	3expia 1208	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> ( x = A -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
15	1, 14	mtod 665	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> -. x = A )
16		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		eldif 3175	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _V \ { A } ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. { A } ) )
18	16, 17	mpbiran 943	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( _V \ { A } ) <-> -. x e. { A } )
19		velsn 3650	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A } <-> x = A )
20	18, 19	xchbinx 684	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( _V \ { A } ) <-> -. x = A )
21	15, 20	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A e. A /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) )
22	21	ex 115	. . . . . 6 |- ( A e. A -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
23	22	alrimiv 1897	. . . . 5 |- ( A e. A -> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
24		df-ral 2489	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) <-> A. y ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) ) )
25		clelsb1 2310	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) <-> y e. ( _V \ { A } ) )
26	25	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) )
27	26	albii 1493	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) ) <-> A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) )
28	24, 27	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) <-> A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) )
29	28	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
30	29	albii 1493	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A } ) ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
31	23, 30	sylibr 134	. . . 4 |- ( A e. A -> A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) )
32		ax-setind 4585	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A } ) -> x e. ( _V \ { A } ) ) -> A. x x e. ( _V \ { A } ) )
33	31, 32	syl 14	. . 3 |- ( A e. A -> A. x x e. ( _V \ { A } ) )
34		eleq1 2268	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. ( _V \ { A } ) <-> A e. ( _V \ { A } ) ) )
35	34	spcgv 2860	. . 3 |- ( A e. A -> ( A. x x e. ( _V \ { A } ) -> A e. ( _V \ { A } ) ) )
36	33, 35	mpd 13	. 2 |- ( A e. A -> A e. ( _V \ { A } ) )
37		neldifsnd 3764	. 2 |- ( A e. A -> -. A e. ( _V \ { A } ) )
38	36, 37	pm2.65i 640	1 |- -. A e. A

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   [wsb 1785   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-v 2774  df-dif 3168  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  ordirr  4590  elirrv  4596  sucprcreg  4597  ordsoexmid  4610  onnmin  4616  ssnel  4617  ordtri2or2exmid  4619  reg3exmidlemwe  4627  nntri2  6580  nntri3  6583  nndceq  6585  nndcel  6586  phpelm  6963  fiunsnnn  6978  onunsnss  7014  snon0  7037