ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfiexmid Unicode version

Theorem unfiexmid 6608
Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
unfiexmid.1  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
unfiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pr 3448 . . . . 5  |-  { {
z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  =  ( { {
z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )
2 unfiexmid.1 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
32rgen2a 2429 . . . . . 6  |-  A. x  e.  Fin  A. y  e. 
Fin  ( x  u.  y )  e.  Fin
4 df1o2 6176 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
5 rabeq 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  { (/) }  ->  { z  e.  1o  |  ph }  =  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
64, 5ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  1o  |  ph }  =  { z  e.  { (/) }  |  ph }
7 ordtriexmidlem 4326 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
86, 7eqeltri 2160 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  1o  |  ph }  e.  On
9 snfig 6511 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  e.  On  ->  { { z  e.  1o  |  ph } }  e.  Fin )
108, 9ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  { {
z  e.  1o  |  ph } }  e.  Fin
11 1onn 6259 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
12 snfig 6511 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  om  ->  { 1o }  e.  Fin )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  { 1o }  e.  Fin
14 uneq1 3145 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { { z  e.  1o  |  ph } }  ->  ( x  u.  y )  =  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  y
) )
1514eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { { z  e.  1o  |  ph } }  ->  ( ( x  u.  y )  e.  Fin  <->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  y )  e.  Fin ) )
16 uneq2 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { 1o }  ->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  y
)  =  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } ) )
1716eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { 1o }  ->  ( ( { {
z  e.  1o  |  ph } }  u.  y
)  e.  Fin  <->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e. 
Fin ) )
1815, 17rspc2v 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( { { z  e.  1o  |  ph } }  e.  Fin  /\  { 1o }  e.  Fin )  ->  ( A. x  e. 
Fin  A. y  e.  Fin  ( x  u.  y
)  e.  Fin  ->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e.  Fin ) )
1910, 13, 18mp2an 417 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Fin  A. y  e.  Fin  ( x  u.  y )  e.  Fin  ->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e.  Fin )
203, 19ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e. 
Fin
211, 20eqeltri 2160 . . . 4  |-  { {
z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  e.  Fin
228elexi 2631 . . . . 5  |-  { z  e.  1o  |  ph }  e.  _V
2322prid1 3543 . . . 4  |-  { z  e.  1o  |  ph }  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }
2411elexi 2631 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
2524prid2 3544 . . . 4  |-  1o  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }
26 fidceq 6565 . . . 4  |-  ( ( { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  1o  |  ph }  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  /\  1o  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o } )  -> DECID  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
2721, 23, 25, 26mp3an 1273 . . 3  |- DECID  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o
28 exmiddc 782 . . 3  |-  (DECID  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  ->  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  \/  -.  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
)
2927, 28ax-mp 7 . 2  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  \/  -.  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
304eqeq2i 2098 . . . 4  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  <->  { z  e.  1o  |  ph }  =  { (/) } )
31 0ex 3958 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32 biidd 170 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3331, 32rabsnt 3512 . . . 4  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
3430, 33sylbi 119 . . 3  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  ->  ph )
35 iba 294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  1o  <->  ( z  e.  1o  /\  ph ) ) )
3635abbi2dv 2206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1o  =  { z  |  ( z  e.  1o  /\  ph ) } )
37 df-rab 2368 . . . . 5  |-  { z  e.  1o  |  ph }  =  { z  |  ( z  e.  1o  /\  ph ) }
3836, 37syl6reqr 2139 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
3938con3i 597 . . 3  |-  ( -. 
{ z  e.  1o  |  ph }  =  1o 
->  -.  ph )
4034, 39orim12i 711 . 2  |-  ( ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  \/  -.  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
4129, 40ax-mp 7 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   {crab 2363    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   Oncon0 4181   omcom 4395   1oc1o 6156   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator