Theorem unfiexmid 6608

Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
unfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
unfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3448	. . . . 5 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } )
2		unfiexmid.1	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
3	2	rgen2a 2429	. . . . . 6 |- A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin
4		df1o2 6176	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
5		rabeq 2611	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = { (/) } -> { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph } )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph }
7		ordtriexmidlem 4326	. . . . . . . . 9 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
8	6, 7	eqeltri 2160	. . . . . . . 8 |- { z e. 1o | ph } e. On
9		snfig 6511	. . . . . . . 8 |- ( { z e. 1o | ph } e. On -> { { z e. 1o | ph } } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- { { z e. 1o | ph } } e. Fin
11		1onn 6259	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
12		snfig 6511	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. om -> { 1o } e. Fin )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- { 1o } e. Fin
14		uneq1 3145	. . . . . . . . 9 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( x u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) )
15	14	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( ( x u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin ) )
16		uneq2 3146	. . . . . . . . 9 |- ( y = { 1o } -> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) )
17	16	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( y = { 1o } -> ( ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
18	15, 17	rspc2v 2733	. . . . . . 7 |- ( ( { { z e. 1o | ph } } e. Fin /\ { 1o } e. Fin ) -> ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
19	10, 13, 18	mp2an 417	. . . . . 6 |- ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin )
20	3, 19	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin
21	1, 20	eqeltri 2160	. . . 4 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin
22	8	elexi 2631	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } e. _V
23	22	prid1 3543	. . . 4 |- { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
24	11	elexi 2631	. . . . 5 |- 1o e. _V
25	24	prid2 3544	. . . 4 |- 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
26		fidceq 6565	. . . 4 |- ( ( { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin /\ { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o } /\ 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o } ) -> DECID { z e. 1o | ph } = 1o )
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1273	. . 3 |- DECID { z e. 1o | ph } = 1o
28		exmiddc 782	. . 3 |- (DECID { z e. 1o | ph } = 1o -> ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) )
29	27, 28	ax-mp 7	. 2 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o )
30	4	eqeq2i 2098	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o <-> { z e. 1o | ph } = { (/) } )
31		0ex 3958	. . . . 5 |- (/) e. _V
32		biidd 170	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	31, 32	rabsnt 3512	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = { (/) } -> ph )
34	30, 33	sylbi 119	. . 3 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o -> ph )
35		iba 294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. 1o <-> ( z e. 1o /\ ph ) ) )
36	35	abbi2dv 2206	. . . . 5 |- ( ph -> 1o = { z | ( z e. 1o /\ ph ) } )
37		df-rab 2368	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } = { z | ( z e. 1o /\ ph ) }
38	36, 37	syl6reqr 2139	. . . 4 |- ( ph -> { z e. 1o | ph } = 1o )
39	38	con3i 597	. . 3 |- ( -. { z e. 1o | ph } = 1o -> -. ph )
40	34, 39	orim12i 711	. 2 |- ( ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) -> ( ph \/ -. ph ) )
41	29, 40	ax-mp 7	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289   e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   {crab 2363   u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   Oncon0 4181   omcom 4395   1oc1o 6156   Fincfn 6437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-en 6438  df-fin 6440

This theorem is referenced by: (None)