Theorem unfiexmid 6814

Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
unfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
unfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3539	. . . . 5 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } )
2		unfiexmid.1	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
3	2	rgen2a 2489	. . . . . 6 |- A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin
4		df1o2 6334	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
5		rabeq 2681	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = { (/) } -> { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph } )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph }
7		ordtriexmidlem 4443	. . . . . . . . 9 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
8	6, 7	eqeltri 2213	. . . . . . . 8 |- { z e. 1o | ph } e. On
9		snfig 6716	. . . . . . . 8 |- ( { z e. 1o | ph } e. On -> { { z e. 1o | ph } } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { { z e. 1o | ph } } e. Fin
11		1onn 6424	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
12		snfig 6716	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. om -> { 1o } e. Fin )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { 1o } e. Fin
14		uneq1 3228	. . . . . . . . 9 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( x u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) )
15	14	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( ( x u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin ) )
16		uneq2 3229	. . . . . . . . 9 |- ( y = { 1o } -> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) )
17	16	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( y = { 1o } -> ( ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
18	15, 17	rspc2v 2806	. . . . . . 7 |- ( ( { { z e. 1o | ph } } e. Fin /\ { 1o } e. Fin ) -> ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
19	10, 13, 18	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin )
20	3, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin
21	1, 20	eqeltri 2213	. . . 4 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin
22	8	elexi 2701	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } e. _V
23	22	prid1 3637	. . . 4 |- { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
24	11	elexi 2701	. . . . 5 |- 1o e. _V
25	24	prid2 3638	. . . 4 |- 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
26		fidceq 6771	. . . 4 |- ( ( { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin /\ { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o } /\ 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o } ) -> DECID { z e. 1o | ph } = 1o )
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1316	. . 3 |- DECID { z e. 1o | ph } = 1o
28		exmiddc 822	. . 3 |- (DECID { z e. 1o | ph } = 1o -> ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. 2 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o )
30	4	eqeq2i 2151	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o <-> { z e. 1o | ph } = { (/) } )
31		0ex 4063	. . . . 5 |- (/) e. _V
32		biidd 171	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	31, 32	rabsnt 3606	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = { (/) } -> ph )
34	30, 33	sylbi 120	. . 3 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o -> ph )
35		df-rab 2426	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } = { z | ( z e. 1o /\ ph ) }
36		iba 298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. 1o <-> ( z e. 1o /\ ph ) ) )
37	36	abbi2dv 2259	. . . . 5 |- ( ph -> 1o = { z | ( z e. 1o /\ ph ) } )
38	35, 37	eqtr4id 2192	. . . 4 |- ( ph -> { z e. 1o | ph } = 1o )
39	38	con3i 622	. . 3 |- ( -. { z e. 1o | ph } = 1o -> -. ph )
40	34, 39	orim12i 749	. 2 |- ( ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) -> ( ph \/ -. ph ) )
41	29, 40	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   {crab 2421   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   {cpr 3533   Oncon0 4293   omcom 4512   1oc1o 6314   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by: (None)