Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfiexmid Unicode version

Theorem unfiexmid 6799
 Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
unfiexmid.1
Assertion
Ref Expression
unfiexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem unfiexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pr 3529 . . . . 5
2 unfiexmid.1 . . . . . . 7
32rgen2a 2484 . . . . . 6
4 df1o2 6319 . . . . . . . . . 10
5 rabeq 2673 . . . . . . . . . 10
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7 ordtriexmidlem 4430 . . . . . . . . 9
86, 7eqeltri 2210 . . . . . . . 8
9 snfig 6701 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7
11 1onn 6409 . . . . . . . 8
12 snfig 6701 . . . . . . . 8
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7
14 uneq1 3218 . . . . . . . . 9
1514eleq1d 2206 . . . . . . . 8
16 uneq2 3219 . . . . . . . . 9
1716eleq1d 2206 . . . . . . . 8
1815, 17rspc2v 2797 . . . . . . 7
1910, 13, 18mp2an 422 . . . . . 6
203, 19ax-mp 5 . . . . 5
211, 20eqeltri 2210 . . . 4
228elexi 2693 . . . . 5
2322prid1 3624 . . . 4
2411elexi 2693 . . . . 5
2524prid2 3625 . . . 4
26 fidceq 6756 . . . 4 DECID
2721, 23, 25, 26mp3an 1315 . . 3 DECID
28 exmiddc 821 . . 3 DECID
2927, 28ax-mp 5 . 2
304eqeq2i 2148 . . . 4
31 0ex 4050 . . . . 5
32 biidd 171 . . . . 5
3331, 32rabsnt 3593 . . . 4
3430, 33sylbi 120 . . 3
35 iba 298 . . . . . 6
3635abbi2dv 2256 . . . . 5
37 df-rab 2423 . . . . 5
3836, 37syl6reqr 2189 . . . 4
3938con3i 621 . . 3
4034, 39orim12i 748 . 2
4129, 40ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 697  DECID wdc 819   wceq 1331   wcel 1480  cab 2123  wral 2414  crab 2418   cun 3064  c0 3358  csn 3522  cpr 3523  con0 4280  com 4499  c1o 6299  cfn 6627 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-en 6628  df-fin 6630 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator