ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfiexmid Unicode version

Theorem unfiexmid 6553
Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
unfiexmid.1  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
unfiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pr 3429 . . . . 5  |-  { {
z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  =  ( { {
z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )
2 unfiexmid.1 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
32rgen2a 2423 . . . . . 6  |-  A. x  e.  Fin  A. y  e. 
Fin  ( x  u.  y )  e.  Fin
4 df1o2 6124 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
5 rabeq 2604 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  { (/) }  ->  { z  e.  1o  |  ph }  =  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
64, 5ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  1o  |  ph }  =  { z  e.  { (/) }  |  ph }
7 ordtriexmidlem 4298 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
86, 7eqeltri 2155 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  1o  |  ph }  e.  On
9 snfig 6459 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  e.  On  ->  { { z  e.  1o  |  ph } }  e.  Fin )
108, 9ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  { {
z  e.  1o  |  ph } }  e.  Fin
11 1onn 6207 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
12 snfig 6459 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  om  ->  { 1o }  e.  Fin )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  { 1o }  e.  Fin
14 uneq1 3131 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { { z  e.  1o  |  ph } }  ->  ( x  u.  y )  =  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  y
) )
1514eleq1d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { { z  e.  1o  |  ph } }  ->  ( ( x  u.  y )  e.  Fin  <->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  y )  e.  Fin ) )
16 uneq2 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { 1o }  ->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  y
)  =  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } ) )
1716eleq1d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { 1o }  ->  ( ( { {
z  e.  1o  |  ph } }  u.  y
)  e.  Fin  <->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e. 
Fin ) )
1815, 17rspc2v 2723 . . . . . . 7  |-  ( ( { { z  e.  1o  |  ph } }  e.  Fin  /\  { 1o }  e.  Fin )  ->  ( A. x  e. 
Fin  A. y  e.  Fin  ( x  u.  y
)  e.  Fin  ->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e.  Fin ) )
1910, 13, 18mp2an 417 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Fin  A. y  e.  Fin  ( x  u.  y )  e.  Fin  ->  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e.  Fin )
203, 19ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( { { z  e.  1o  |  ph } }  u.  { 1o } )  e. 
Fin
211, 20eqeltri 2155 . . . 4  |-  { {
z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  e.  Fin
228elexi 2622 . . . . 5  |-  { z  e.  1o  |  ph }  e.  _V
2322prid1 3522 . . . 4  |-  { z  e.  1o  |  ph }  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }
2411elexi 2622 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
2524prid2 3523 . . . 4  |-  1o  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }
26 fidceq 6513 . . . 4  |-  ( ( { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  1o  |  ph }  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o }  /\  1o  e.  { { z  e.  1o  |  ph } ,  1o } )  -> DECID  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
2721, 23, 25, 26mp3an 1269 . . 3  |- DECID  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o
28 exmiddc 778 . . 3  |-  (DECID  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  ->  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  \/  -.  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
)
2927, 28ax-mp 7 . 2  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  \/  -.  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
304eqeq2i 2093 . . . 4  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  <->  { z  e.  1o  |  ph }  =  { (/) } )
31 0ex 3931 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32 biidd 170 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3331, 32rabsnt 3491 . . . 4  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
3430, 33sylbi 119 . . 3  |-  ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  ->  ph )
35 iba 294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  1o  <->  ( z  e.  1o  /\  ph ) ) )
3635abbi2dv 2201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1o  =  { z  |  ( z  e.  1o  /\  ph ) } )
37 df-rab 2362 . . . . 5  |-  { z  e.  1o  |  ph }  =  { z  |  ( z  e.  1o  /\  ph ) }
3836, 37syl6reqr 2134 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )
3938con3i 595 . . 3  |-  ( -. 
{ z  e.  1o  |  ph }  =  1o 
->  -.  ph )
4034, 39orim12i 709 . 2  |-  ( ( { z  e.  1o  |  ph }  =  1o  \/  -.  { z  e.  1o  |  ph }  =  1o )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
4129, 40ax-mp 7 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   {crab 2357    u. cun 2982   (/)c0 3269   {csn 3422   {cpr 3423   Oncon0 4153   omcom 4367   1oc1o 6104   Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-1o 6111  df-en 6386  df-fin 6388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator