Theorem unfiexmid 6988

Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
unfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
unfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3630	. . . . 5 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } )
2		unfiexmid.1	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
3	2	rgen2a 2551	. . . . . 6 |- A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin
4		df1o2 6496	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
5		rabeq 2755	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = { (/) } -> { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph } )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph }
7		ordtriexmidlem 4556	. . . . . . . . 9 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
8	6, 7	eqeltri 2269	. . . . . . . 8 |- { z e. 1o | ph } e. On
9		snfig 6882	. . . . . . . 8 |- ( { z e. 1o | ph } e. On -> { { z e. 1o | ph } } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { { z e. 1o | ph } } e. Fin
11		1onn 6587	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
12		snfig 6882	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. om -> { 1o } e. Fin )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { 1o } e. Fin
14		uneq1 3311	. . . . . . . . 9 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( x u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) )
15	14	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( ( x u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin ) )
16		uneq2 3312	. . . . . . . . 9 |- ( y = { 1o } -> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) )
17	16	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( y = { 1o } -> ( ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
18	15, 17	rspc2v 2881	. . . . . . 7 |- ( ( { { z e. 1o | ph } } e. Fin /\ { 1o } e. Fin ) -> ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
19	10, 13, 18	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin )
20	3, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin
21	1, 20	eqeltri 2269	. . . 4 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin
22	8	elexi 2775	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } e. _V
23	22	prid1 3729	. . . 4 |- { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
24	11	elexi 2775	. . . . 5 |- 1o e. _V
25	24	prid2 3730	. . . 4 |- 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
26		fidceq 6939	. . . 4 |- ( ( { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin /\ { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o } /\ 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o } ) -> DECID { z e. 1o | ph } = 1o )
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1348	. . 3 |- DECID { z e. 1o | ph } = 1o
28		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID { z e. 1o | ph } = 1o -> ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. 2 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o )
30	4	eqeq2i 2207	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o <-> { z e. 1o | ph } = { (/) } )
31		0ex 4161	. . . . 5 |- (/) e. _V
32		biidd 172	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	31, 32	rabsnt 3698	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = { (/) } -> ph )
34	30, 33	sylbi 121	. . 3 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o -> ph )
35		df-rab 2484	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } = { z | ( z e. 1o /\ ph ) }
36		iba 300	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. 1o <-> ( z e. 1o /\ ph ) ) )
37	36	abbi2dv 2315	. . . . 5 |- ( ph -> 1o = { z | ( z e. 1o /\ ph ) } )
38	35, 37	eqtr4id 2248	. . . 4 |- ( ph -> { z e. 1o | ph } = 1o )
39	38	con3i 633	. . 3 |- ( -. { z e. 1o | ph } = 1o -> -. ph )
40	34, 39	orim12i 760	. 2 |- ( ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) -> ( ph \/ -. ph ) )
41	29, 40	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   {crab 2479   u. cun 3155   (/)c0 3451   {csn 3623   {cpr 3624   Oncon0 4399   omcom 4627   1oc1o 6476   Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by: (None)