Theorem unfiexmid 6862

Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
unfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
unfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3567	. . . . 5 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } )
2		unfiexmid.1	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
3	2	rgen2a 2511	. . . . . 6 |- A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin
4		df1o2 6376	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
5		rabeq 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = { (/) } -> { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph } )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph }
7		ordtriexmidlem 4478	. . . . . . . . 9 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
8	6, 7	eqeltri 2230	. . . . . . . 8 |- { z e. 1o | ph } e. On
9		snfig 6759	. . . . . . . 8 |- ( { z e. 1o | ph } e. On -> { { z e. 1o | ph } } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { { z e. 1o | ph } } e. Fin
11		1onn 6467	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
12		snfig 6759	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. om -> { 1o } e. Fin )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { 1o } e. Fin
14		uneq1 3254	. . . . . . . . 9 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( x u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) )
15	14	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( ( x u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin ) )
16		uneq2 3255	. . . . . . . . 9 |- ( y = { 1o } -> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) )
17	16	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 |- ( y = { 1o } -> ( ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
18	15, 17	rspc2v 2829	. . . . . . 7 |- ( ( { { z e. 1o | ph } } e. Fin /\ { 1o } e. Fin ) -> ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
19	10, 13, 18	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin )
20	3, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin
21	1, 20	eqeltri 2230	. . . 4 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin
22	8	elexi 2724	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } e. _V
23	22	prid1 3665	. . . 4 |- { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
24	11	elexi 2724	. . . . 5 |- 1o e. _V
25	24	prid2 3666	. . . 4 |- 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
26		fidceq 6814	. . . 4 |- ( ( { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin /\ { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o } /\ 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o } ) -> DECID { z e. 1o | ph } = 1o )
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1319	. . 3 |- DECID { z e. 1o | ph } = 1o
28		exmiddc 822	. . 3 |- (DECID { z e. 1o | ph } = 1o -> ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. 2 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o )
30	4	eqeq2i 2168	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o <-> { z e. 1o | ph } = { (/) } )
31		0ex 4091	. . . . 5 |- (/) e. _V
32		biidd 171	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	31, 32	rabsnt 3634	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = { (/) } -> ph )
34	30, 33	sylbi 120	. . 3 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o -> ph )
35		df-rab 2444	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } = { z | ( z e. 1o /\ ph ) }
36		iba 298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. 1o <-> ( z e. 1o /\ ph ) ) )
37	36	abbi2dv 2276	. . . . 5 |- ( ph -> 1o = { z | ( z e. 1o /\ ph ) } )
38	35, 37	eqtr4id 2209	. . . 4 |- ( ph -> { z e. 1o | ph } = 1o )
39	38	con3i 622	. . 3 |- ( -. { z e. 1o | ph } = 1o -> -. ph )
40	34, 39	orim12i 749	. 2 |- ( ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) -> ( ph \/ -. ph ) )
41	29, 40	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   {crab 2439   u. cun 3100   (/)c0 3394   {csn 3560   {cpr 3561   Oncon0 4323   omcom 4549   1oc1o 6356   Fincfn 6685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-en 6686  df-fin 6688

This theorem is referenced by: (None)