Theorem unfiexmid 6974

Description: If the union of any two finite sets is finite, excluded middle follows. Remark 8.1.17 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
unfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
unfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem unfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3625	. . . . 5 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } )
2		unfiexmid.1	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
3	2	rgen2a 2548	. . . . . 6 |- A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin
4		df1o2 6482	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
5		rabeq 2752	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = { (/) } -> { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph } )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { z e. 1o | ph } = { z e. { (/) } | ph }
7		ordtriexmidlem 4551	. . . . . . . . 9 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
8	6, 7	eqeltri 2266	. . . . . . . 8 |- { z e. 1o | ph } e. On
9		snfig 6868	. . . . . . . 8 |- ( { z e. 1o | ph } e. On -> { { z e. 1o | ph } } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { { z e. 1o | ph } } e. Fin
11		1onn 6573	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
12		snfig 6868	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. om -> { 1o } e. Fin )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { 1o } e. Fin
14		uneq1 3306	. . . . . . . . 9 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( x u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) )
15	14	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( x = { { z e. 1o | ph } } -> ( ( x u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin ) )
16		uneq2 3307	. . . . . . . . 9 |- ( y = { 1o } -> ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) = ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) )
17	16	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( y = { 1o } -> ( ( { { z e. 1o | ph } } u. y ) e. Fin <-> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
18	15, 17	rspc2v 2877	. . . . . . 7 |- ( ( { { z e. 1o | ph } } e. Fin /\ { 1o } e. Fin ) -> ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin ) )
19	10, 13, 18	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( A. x e. Fin A. y e. Fin ( x u. y ) e. Fin -> ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin )
20	3, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { { z e. 1o | ph } } u. { 1o } ) e. Fin
21	1, 20	eqeltri 2266	. . . 4 |- { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin
22	8	elexi 2772	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } e. _V
23	22	prid1 3724	. . . 4 |- { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
24	11	elexi 2772	. . . . 5 |- 1o e. _V
25	24	prid2 3725	. . . 4 |- 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o }
26		fidceq 6925	. . . 4 |- ( ( { { z e. 1o | ph } , 1o } e. Fin /\ { z e. 1o | ph } e. { { z e. 1o | ph } , 1o } /\ 1o e. { { z e. 1o | ph } , 1o } ) -> DECID { z e. 1o | ph } = 1o )
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1348	. . 3 |- DECID { z e. 1o | ph } = 1o
28		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID { z e. 1o | ph } = 1o -> ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. 2 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o )
30	4	eqeq2i 2204	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o <-> { z e. 1o | ph } = { (/) } )
31		0ex 4156	. . . . 5 |- (/) e. _V
32		biidd 172	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	31, 32	rabsnt 3693	. . . 4 |- ( { z e. 1o | ph } = { (/) } -> ph )
34	30, 33	sylbi 121	. . 3 |- ( { z e. 1o | ph } = 1o -> ph )
35		df-rab 2481	. . . . 5 |- { z e. 1o | ph } = { z | ( z e. 1o /\ ph ) }
36		iba 300	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. 1o <-> ( z e. 1o /\ ph ) ) )
37	36	abbi2dv 2312	. . . . 5 |- ( ph -> 1o = { z | ( z e. 1o /\ ph ) } )
38	35, 37	eqtr4id 2245	. . . 4 |- ( ph -> { z e. 1o | ph } = 1o )
39	38	con3i 633	. . 3 |- ( -. { z e. 1o | ph } = 1o -> -. ph )
40	34, 39	orim12i 760	. 2 |- ( ( { z e. 1o | ph } = 1o \/ -. { z e. 1o | ph } = 1o ) -> ( ph \/ -. ph ) )
41	29, 40	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   {crab 2476   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   Oncon0 4394   omcom 4622   1oc1o 6462   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)