Theorem nnwetri 7101

Description: A natural number is well-ordered by _E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	|- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4708	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		ordwe 4672	. . 3 |- ( Ord A -> _E We A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> _E We A )
4		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
5		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A e. om )
6		elnn 4702	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. om )
8		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
9		elnn 4702	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A e. om ) -> y e. om )
10	8, 5, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. om )
11		nntri3or 6656	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
12		epel 4387	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
13		biid 171	. . . . . 6 |- ( x = y <-> x = y )
14		epel 4387	. . . . . 6 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	12, 13, 14	3orbi123i 1213	. . . . 5 |- ( ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
16	11, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
17	7, 10, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
18	17	ralrimivva 2612	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
19	3, 18	jca 306	1 |- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4086   _E cep 4382   We wwe 4425   Ord word 4457   omcom 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-frfor 4426  df-frind 4427  df-wetr 4429  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687

This theorem is referenced by: (None)