ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnwetri Unicode version

Theorem nnwetri 6909
Description: A natural number is well-ordered by  _E. More specifically, this order both satisfies  We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnwetri  |-  ( A  e.  om  ->  (  _E  We  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem nnwetri
StepHypRef Expression
1 nnord 4608 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
2 ordwe 4572 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  _E  We  A )
4 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
5 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  A  e.  om )
6 elnn 4602 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
74, 5, 6syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  e.  om )
8 simprr 531 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
9 elnn 4602 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  y  e.  om )
108, 5, 9syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  y  e.  om )
11 nntri3or 6488 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
12 epel 4289 . . . . . 6  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
13 biid 171 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  x  =  y )
14 epel 4289 . . . . . 6  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1512, 13, 143orbi123i 1189 . . . . 5  |-  ( ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
1611, 15sylibr 134 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x
) )
177, 10, 16syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
1817ralrimivva 2559 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
193, 18jca 306 1  |-  ( A  e.  om  ->  (  _E  We  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ w3o 977    e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000    _E cep 4284    We wwe 4327   Ord word 4359   omcom 4586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-frfor 4328  df-frind 4329  df-wetr 4331  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator