Theorem nnwetri 6757

Description: A natural number is well-ordered by _E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	|- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4485	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		ordwe 4450	. . 3 |- ( Ord A -> _E We A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> _E We A )
4		simprl 503	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
5		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A e. om )
6		elnn 4479	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
7	4, 5, 6	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. om )
8		simprr 504	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
9		elnn 4479	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A e. om ) -> y e. om )
10	8, 5, 9	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. om )
11		nntri3or 6343	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
12		epel 4174	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
13		biid 170	. . . . . 6 |- ( x = y <-> x = y )
14		epel 4174	. . . . . 6 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	12, 13, 14	3orbi123i 1154	. . . . 5 |- ( ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
16	11, 15	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
17	7, 10, 16	syl2anc 406	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
18	17	ralrimivva 2488	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
19	3, 18	jca 302	1 |- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 944   e. wcel 1463   A.wral 2390   class class class wbr 3895   _E cep 4169   We wwe 4212   Ord word 4244   omcom 4464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-frfor 4213  df-frind 4214  df-wetr 4216  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465

This theorem is referenced by: (None)