Theorem nnwetri 7213

Description: A natural number is well-ordered by _E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	|- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4754	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		ordwe 4718	. . 3 |- ( Ord A -> _E We A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> _E We A )
4		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
5		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A e. om )
6		elnn 4748	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. om )
8		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
9		elnn 4748	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A e. om ) -> y e. om )
10	8, 5, 9	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. om )
11		nntri3or 6756	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
12		epel 4432	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
13		biid 171	. . . . . 6 |- ( x = y <-> x = y )
14		epel 4432	. . . . . 6 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	12, 13, 14	3orbi123i 1220	. . . . 5 |- ( ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
16	11, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
17	7, 10, 16	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
18	17	ralrimivva 2632	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
19	3, 18	jca 306	1 |- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1008   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4125   _E cep 4427   We wwe 4470   Ord word 4502   omcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-frfor 4471  df-frind 4472  df-wetr 4474  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by: (None)