Theorem onunsnss 6873

Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
onunsnss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem onunsnss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4512	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
2		elsni 3588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
3	2	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 = 𝐵)
4		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5	3, 4	eqeltrrd 2242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐵)
6	5	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ 𝐵))
7	1, 6	mtoi 654	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
8		snidg 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵})
9		elun2 3285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
12		ontr1 4361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
14	11, 13	mpan2d 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
15	14	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
16		elun 3258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ {𝐵}))
17	15, 16	sylib 121	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ {𝐵}))
18	7, 17	ecased 1338	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
20	19	ssrdv 3143	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ On) → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ∪ cun 3109   ⊆ wss 3111  {csn 3570  Oncon0 4335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-uni 3784  df-tr 4075  df-iord 4338  df-on 4340

This theorem is referenced by: (None)