ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabid2 Unicode version

Theorem opabid2 4776
Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
opabid2  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem opabid2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2 vex 2755 . . . 4  |-  w  e. 
_V
3 opeq1 3793 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  <. x ,  y >.  =  <. z ,  y >. )
43eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
5 opeq2 3794 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  w >. )
65eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( <. z ,  y >.  e.  A  <->  <. z ,  w >.  e.  A ) )
71, 2, 4, 6opelopab 4289 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A )
87gen2 1461 . 2  |-  A. z A. w ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A )
9 relopab 4771 . . 3  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }
10 eqrel 4733 . . 3  |-  ( ( Rel  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  /\  Rel  A )  ->  ( { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A  <->  A. z A. w ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A ) ) )
119, 10mpan 424 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }  =  A 
<-> 
A. z A. w
( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A ) ) )
128, 11mpbiri 168 1  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 2160   <.cop 3610   {copab 4078   Rel wrel 4649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651
This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4794
  Copyright terms: Public domain W3C validator