Theorem opabid2 4822

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem opabid2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2776	. . . 4 |- z e. _V
2		vex 2776	. . . 4 |- w e. _V
3		opeq1 3828	. . . . 5 |- ( x = z -> <. x , y >. = <. z , y >. )
4	3	eleq1d 2275	. . . 4 |- ( x = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. z , y >. e. A ) )
5		opeq2 3829	. . . . 5 |- ( y = w -> <. z , y >. = <. z , w >. )
6	5	eleq1d 2275	. . . 4 |- ( y = w -> ( <. z , y >. e. A <-> <. z , w >. e. A ) )
7	1, 2, 4, 6	opelopab 4331	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
8	7	gen2 1474	. 2 |- A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
9		relopab 4817	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A }
10		eqrel 4777	. . 3 |- ( ( Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } /\ Rel A ) -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
11	9, 10	mpan 424	. 2 |- ( Rel A -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
12	8, 11	mpbiri 168	1 |- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641   {copab 4115   Rel wrel 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-opab 4117  df-xp 4694  df-rel 4695

This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4840