Theorem opabid2 4735

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem opabid2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . 4 |- z e. _V
2		vex 2729	. . . 4 |- w e. _V
3		opeq1 3758	. . . . 5 |- ( x = z -> <. x , y >. = <. z , y >. )
4	3	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. z , y >. e. A ) )
5		opeq2 3759	. . . . 5 |- ( y = w -> <. z , y >. = <. z , w >. )
6	5	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( y = w -> ( <. z , y >. e. A <-> <. z , w >. e. A ) )
7	1, 2, 4, 6	opelopab 4249	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
8	7	gen2 1438	. 2 |- A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
9		relopab 4731	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A }
10		eqrel 4693	. . 3 |- ( ( Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } /\ Rel A ) -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
11	9, 10	mpan 421	. 2 |- ( Rel A -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
12	8, 11	mpbiri 167	1 |- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   {copab 4042   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4753