Theorem opabid2 4797

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem opabid2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . 4 |- z e. _V
2		vex 2766	. . . 4 |- w e. _V
3		opeq1 3808	. . . . 5 |- ( x = z -> <. x , y >. = <. z , y >. )
4	3	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( x = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. z , y >. e. A ) )
5		opeq2 3809	. . . . 5 |- ( y = w -> <. z , y >. = <. z , w >. )
6	5	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( y = w -> ( <. z , y >. e. A <-> <. z , w >. e. A ) )
7	1, 2, 4, 6	opelopab 4306	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
8	7	gen2 1464	. 2 |- A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
9		relopab 4792	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A }
10		eqrel 4752	. . 3 |- ( ( Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } /\ Rel A ) -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
11	9, 10	mpan 424	. 2 |- ( Rel A -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
12	8, 11	mpbiri 168	1 |- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   {copab 4093   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670

This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4815