Theorem opabid2 4809

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem opabid2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. . . 4 |- z e. _V
2		vex 2775	. . . 4 |- w e. _V
3		opeq1 3819	. . . . 5 |- ( x = z -> <. x , y >. = <. z , y >. )
4	3	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. z , y >. e. A ) )
5		opeq2 3820	. . . . 5 |- ( y = w -> <. z , y >. = <. z , w >. )
6	5	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( y = w -> ( <. z , y >. e. A <-> <. z , w >. e. A ) )
7	1, 2, 4, 6	opelopab 4318	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
8	7	gen2 1473	. 2 |- A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
9		relopab 4804	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A }
10		eqrel 4764	. . 3 |- ( ( Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } /\ Rel A ) -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
11	9, 10	mpan 424	. 2 |- ( Rel A -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
12	8, 11	mpbiri 168	1 |- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   {copab 4104   Rel wrel 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682

This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4827