Theorem opabresid 4778

Description: The restricted identity expressed with the class builder. (Contributed by FL, 25-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
opabresid	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem opabresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab 4769	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) }
2		equcom 1640	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
3	2	opabbii 3911	. . . 4 |- { <. x , y >. | y = x } = { <. x , y >. | x = y }
4		df-id 4129	. . . 4 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
5	3, 4	eqtr4i 2112	. . 3 |- { <. x , y >. | y = x } = _I
6	5	reseq1i 4722	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = ( _I |` A )
7	1, 6	eqtr3i 2111	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   {copab 3904   _I cid 4124   |` cres 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-res 4464

This theorem is referenced by:  mptresid  4779