Theorem opabresid 4931

Description: The restricted identity expressed with the class builder. (Contributed by FL, 25-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
opabresid	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem opabresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab 4922	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) }
2		equcom 1693	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
3	2	opabbii 4043	. . . 4 |- { <. x , y >. | y = x } = { <. x , y >. | x = y }
4		df-id 4265	. . . 4 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
5	3, 4	eqtr4i 2188	. . 3 |- { <. x , y >. | y = x } = _I
6	5	reseq1i 4874	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = ( _I |` A )
7	1, 6	eqtr3i 2187	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   {copab 4036   _I cid 4260   |` cres 4600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-res 4610

This theorem is referenced by:  mptresid  4932