Theorem opabresid 4944

Description: The restricted identity expressed with the class builder. (Contributed by FL, 25-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
opabresid	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem opabresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab 4935	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) }
2		equcom 1699	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
3	2	opabbii 4056	. . . 4 |- { <. x , y >. | y = x } = { <. x , y >. | x = y }
4		df-id 4278	. . . 4 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
5	3, 4	eqtr4i 2194	. . 3 |- { <. x , y >. | y = x } = _I
6	5	reseq1i 4887	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = ( _I |` A )
7	1, 6	eqtr3i 2193	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {copab 4049   _I cid 4273   |` cres 4613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-res 4623

This theorem is referenced by:  mptresid  4945