Theorem resopab 5063

Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
resopab	|- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem resopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4743	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) )
2		df-xp 4737	. . . . . 6 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
3		vex 2806	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	3	biantru 302	. . . . . . 7 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ y e. _V ) )
5	4	opabbii 4161	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | x e. A } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
6	2, 5	eqtr4i 2255	. . . . 5 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | x e. A }
7	6	ineq2i 3407	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } )
8		incom 3401	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
9	7, 8	eqtri 2252	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
10		inopab 4868	. . 3 |- ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
11	9, 10	eqtri 2252	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
12	1, 11	eqtri 2252	1 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   i^i cin 3200   {copab 4154   X. cxp 4729   |` cres 4733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-res 4743

This theorem is referenced by:  resopab2  5066  opabresid  5072  mptpreima  5237  isarep2  5424  resoprab  6127  df1st2  6393  df2nd2  6394