ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resopab Unicode version

Theorem resopab 4831
Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
resopab  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  |`  A )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem resopab
StepHypRef Expression
1 df-res 4519 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  |`  A )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )
2 df-xp 4513 . . . . . 6  |-  ( A  X.  _V )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  _V ) }
3 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
43biantru 298 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  _V ) )
54opabbii 3963 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  x  e.  A }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  _V ) }
62, 5eqtr4i 2139 . . . . 5  |-  ( A  X.  _V )  =  { <. x ,  y
>.  |  x  e.  A }
76ineq2i 3242 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  i^i  { <. x ,  y >.  |  x  e.  A } )
8 incom 3236 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  { <. x ,  y >.  |  x  e.  A } )  =  ( { <. x ,  y
>.  |  x  e.  A }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ph } )
97, 8eqtri 2136 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  x  e.  A }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ph } )
10 inopab 4639 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  e.  A }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ph } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
119, 10eqtri 2136 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  i^i  ( A  X.  _V ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
121, 11eqtri 2136 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  |`  A )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    i^i cin 3038   {copab 3956    X. cxp 4505    |` cres 4509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-res 4519
This theorem is referenced by:  resopab2  4834  opabresid  4840  mptpreima  5000  isarep2  5178  resoprab  5833  df1st2  6082  df2nd2  6083
  Copyright terms: Public domain W3C validator