Theorem resopab 5102

Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
resopab	|- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem resopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4781	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) )
2		df-xp 4775	. . . . . 6 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
3		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	3	biantru 302	. . . . . . 7 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ y e. _V ) )
5	4	opabbii 4193	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | x e. A } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
6	2, 5	eqtr4i 2262	. . . . 5 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | x e. A }
7	6	ineq2i 3429	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } )
8		incom 3421	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
9	7, 8	eqtri 2259	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
10		inopab 4907	. . 3 |- ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
11	9, 10	eqtri 2259	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
12	1, 11	eqtri 2259	1 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   {copab 4186   X. cxp 4767   |` cres 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-res 4781

This theorem is referenced by:  resopab2  5105  opabresid  5111  mptpreima  5276  isarep2  5463  resoprab  6174  df1st2  6445  df2nd2  6446