Theorem resopab 5023

Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
resopab	|- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem resopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4706	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) )
2		df-xp 4700	. . . . . 6 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
3		vex 2780	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	3	biantru 302	. . . . . . 7 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ y e. _V ) )
5	4	opabbii 4128	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | x e. A } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. _V ) }
6	2, 5	eqtr4i 2231	. . . . 5 |- ( A X. _V ) = { <. x , y >. | x e. A }
7	6	ineq2i 3380	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } )
8		incom 3374	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i { <. x , y >. | x e. A } ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
9	7, 8	eqtri 2228	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } )
10		inopab 4829	. . 3 |- ( { <. x , y >. | x e. A } i^i { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
11	9, 10	eqtri 2228	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } i^i ( A X. _V ) ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
12	1, 11	eqtri 2228	1 |- ( { <. x , y >. | ph } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2777   i^i cin 3174   {copab 4121   X. cxp 4692   |` cres 4696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-opab 4123  df-xp 4700  df-rel 4701  df-res 4706

This theorem is referenced by:  resopab2  5026  opabresid  5032  mptpreima  5196  isarep2  5381  resoprab  6066  df1st2  6330  df2nd2  6331