Theorem opelco2g 4702

Description: Ordered pair membership in a composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opelco2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. ( C o. D ) <-> E. x ( <. A , x >. e. D /\ <. x , B >. e. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem opelco2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcog 4701	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ( C o. D ) B <-> E. x ( A D x /\ x C B ) ) )
2		df-br 3925	. 2 |- ( A ( C o. D ) B <-> <. A , B >. e. ( C o. D ) )
3		df-br 3925	. . . 4 |- ( A D x <-> <. A , x >. e. D )
4		df-br 3925	. . . 4 |- ( x C B <-> <. x , B >. e. C )
5	3, 4	anbi12i 455	. . 3 |- ( ( A D x /\ x C B ) <-> ( <. A , x >. e. D /\ <. x , B >. e. C ) )
6	5	exbii 1584	. 2 |- ( E. x ( A D x /\ x C B ) <-> E. x ( <. A , x >. e. D /\ <. x , B >. e. C ) )
7	1, 2, 6	3bitr3g 221	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. ( C o. D ) <-> E. x ( <. A , x >. e. D /\ <. x , B >. e. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   <.cop 3525   class class class wbr 3924   o. ccom 4538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-co 4543

This theorem is referenced by:  dfco2  5033  dmfco  5482