Theorem dfco2 5165

Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dfco2	|- ( A o. B ) = U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfco2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5164	. 2 |- Rel ( A o. B )
2		reliun 4780	. . 3 |- ( Rel U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> A. x e. _V Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
3		relxp 4768	. . . 4 |- Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. _V -> Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
5	2, 4	mprgbir 2552	. 2 |- Rel U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )
6		vex 2763	. . . 4 |- y e. _V
7		vex 2763	. . . 4 |- z e. _V
8		opelco2g 4830	. . . 4 |- ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
10		eliun 3916	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x e. _V <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
11		rexv 2778	. . . 4 |- ( E. x e. _V <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
12		opelxp 4689	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> ( y e. ( `' B " { x } ) /\ z e. ( A " { x } ) ) )
13		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
14	13, 6	elimasn 5032	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( `' B " { x } ) <-> <. x , y >. e. `' B )
15	13, 6	opelcnv 4844	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
16	14, 15	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( y e. ( `' B " { x } ) <-> <. y , x >. e. B )
17	13, 7	elimasn 5032	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A " { x } ) <-> <. x , z >. e. A )
18	16, 17	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( `' B " { x } ) /\ z e. ( A " { x } ) ) <-> ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
19	12, 18	bitri 184	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
20	19	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. x <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
21	10, 11, 20	3bitrri 207	. . 3 |- ( E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
22	9, 21	bitri 184	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
23	1, 5, 22	eqrelriiv 4753	1 |- ( A o. B ) = U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   {csn 3618   <.cop 3621   U_ciun 3912   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   "cima 4662   o. ccom 4663   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672

This theorem is referenced by:  dfco2a  5166