ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfco2 Unicode version

Theorem dfco2 5006
Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dfco2  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dfco2
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5005 . 2  |-  Rel  ( A  o.  B )
2 reliun 4628 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  A. x  e.  _V  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
3 relxp 4616 . . . 4  |-  Rel  (
( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
43a1i 9 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
52, 4mprgbir 2465 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )
6 vex 2661 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 vex 2661 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8 opelco2g 4675 . . . 4  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( <. y ,  z
>.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) ) )
96, 7, 8mp2an 420 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. x ( <.
y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
10 eliun 3785 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x  e.  _V  <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
11 rexv 2676 . . . 4  |-  ( E. x  e.  _V  <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
12 opelxp 4537 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " { x } ) ) )
13 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1413, 6elimasn 4874 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' B )
1513, 6opelcnv 4689 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1614, 15bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1713, 7elimasn 4874 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A " { x } )  <->  <. x ,  z >.  e.  A )
1816, 17anbi12i 453 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " {
x } ) )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
1912, 18bitri 183 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
2019exbii 1567 . . . 4  |-  ( E. x <. y ,  z
>.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
2110, 11, 203bitrri 206 . . 3  |-  ( E. x ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A )  <->  <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
229, 21bitri 183 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e. 
_V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
231, 5, 22eqrelriiv 4601 1  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E.wrex 2392   _Vcvv 2658   {csn 3495   <.cop 3498   U_ciun 3781    X. cxp 4505   `'ccnv 4506   "cima 4510    o. ccom 4511   Rel wrel 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520
This theorem is referenced by:  dfco2a  5007
  Copyright terms: Public domain W3C validator