Theorem dfco2 5130

Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dfco2	|- ( A o. B ) = U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfco2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5129	. 2 |- Rel ( A o. B )
2		reliun 4749	. . 3 |- ( Rel U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> A. x e. _V Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
3		relxp 4737	. . . 4 |- Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. _V -> Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
5	2, 4	mprgbir 2535	. 2 |- Rel U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )
6		vex 2742	. . . 4 |- y e. _V
7		vex 2742	. . . 4 |- z e. _V
8		opelco2g 4797	. . . 4 |- ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
10		eliun 3892	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x e. _V <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
11		rexv 2757	. . . 4 |- ( E. x e. _V <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
12		opelxp 4658	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> ( y e. ( `' B " { x } ) /\ z e. ( A " { x } ) ) )
13		vex 2742	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
14	13, 6	elimasn 4997	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( `' B " { x } ) <-> <. x , y >. e. `' B )
15	13, 6	opelcnv 4811	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
16	14, 15	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( y e. ( `' B " { x } ) <-> <. y , x >. e. B )
17	13, 7	elimasn 4997	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A " { x } ) <-> <. x , z >. e. A )
18	16, 17	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( `' B " { x } ) /\ z e. ( A " { x } ) ) <-> ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
19	12, 18	bitri 184	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
20	19	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. x <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
21	10, 11, 20	3bitrri 207	. . 3 |- ( E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
22	9, 21	bitri 184	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
23	1, 5, 22	eqrelriiv 4722	1 |- ( A o. B ) = U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   U_ciun 3888   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   "cima 4631   o. ccom 4632   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641

This theorem is referenced by:  dfco2a  5131