Theorem poinxp 4603

Description: Intersection of partial order with cross product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
poinxp	|- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Proof of Theorem poinxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 518	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> x e. A )
2		brinxp 4602	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
3	1, 1, 2	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
4	3	notbid 656	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( -. x R x <-> -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
5		brinxp 4602	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
6	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
7		brinxp 4602	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
8	7	adantll 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
9	6, 8	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
10		brinxp 4602	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
11	10	adantlr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
12	9, 11	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
13	4, 12	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
14	13	ralbidva 2431	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
15	14	ralbidva 2431	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
16	15	ralbiia 2447	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
17		df-po 4213	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
18		df-po 4213	. 2 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 211	1 |- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   A.wral 2414   i^i cin 3065   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-xp 4540

This theorem is referenced by:  soinxp  4604