Theorem poinxp 4697

Description: Intersection of partial order with cross product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
poinxp	|- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Proof of Theorem poinxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> x e. A )
2		brinxp 4696	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
3	1, 1, 2	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
4	3	notbid 667	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( -. x R x <-> -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
5		brinxp 4696	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
7		brinxp 4696	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
8	7	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
9	6, 8	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
10		brinxp 4696	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
11	10	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
12	9, 11	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
13	4, 12	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
14	13	ralbidva 2473	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
15	14	ralbidva 2473	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
16	15	ralbiia 2491	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
17		df-po 4298	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
18		df-po 4298	. 2 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 212	1 |- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3130   class class class wbr 4005   Po wpo 4296   X. cxp 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-po 4298  df-xp 4634

This theorem is referenced by:  soinxp  4698