Theorem poinxp 4507

Description: Intersection of partial order with cross product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
poinxp	|- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Proof of Theorem poinxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> x e. A )
2		brinxp 4506	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
3	1, 1, 2	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
4	3	notbid 627	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( -. x R x <-> -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
5		brinxp 4506	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
6	5	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
7		brinxp 4506	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
8	7	adantll 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
9	6, 8	anbi12d 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
10		brinxp 4506	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
11	10	adantlr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
12	9, 11	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
13	4, 12	anbi12d 457	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
14	13	ralbidva 2376	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
15	14	ralbidva 2376	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
16	15	ralbiia 2392	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
17		df-po 4123	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
18		df-po 4123	. 2 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 210	1 |- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1438   A.wral 2359   i^i cin 2998   class class class wbr 3845   Po wpo 4121   X. cxp 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-po 4123  df-xp 4444

This theorem is referenced by:  soinxp  4508