Theorem releldmb 4685

Description: Membership in a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
releldmb	|- ( Rel R -> ( A e. dom R <-> E. x A R x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem releldmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 4644	. . 3 |- ( A e. dom R -> ( A e. dom R <-> E. x A R x ) )
2	1	ibi 175	. 2 |- ( A e. dom R -> E. x A R x )
3		releldm 4683	. . . 4 |- ( ( Rel R /\ A R x ) -> A e. dom R )
4	3	ex 114	. . 3 |- ( Rel R -> ( A R x -> A e. dom R ) )
5	4	exlimdv 1748	. 2 |- ( Rel R -> ( E. x A R x -> A e. dom R ) )
6	2, 5	impbid2 142	1 |- ( Rel R -> ( A e. dom R <-> E. x A R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   E.wex 1427   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   dom cdm 4452   Rel wrel 4457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-rel 4459  df-dm 4462

This theorem is referenced by: (None)