Theorem releldmb 4687

Description: Membership in a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
releldmb	⊢ (Rel 𝑅 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem releldmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 4646	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥))
2	1	ibi 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 → ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥)
3		releldm 4685	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝑥) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
4	3	ex 114	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐴𝑅𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝑅))
5	4	exlimdv 1748	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (∃𝑥 𝐴𝑅𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝑅))
6	2, 5	impbid2 142	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∃wex 1427   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853  dom cdm 4454  Rel wrel 4459

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-br 3854  df-opab 3908  df-xp 4460  df-rel 4461  df-dm 4464

This theorem is referenced by: (None)