Theorem releldmb 4921

Description: Membership in a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
releldmb	⊢ (Rel 𝑅 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem releldmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 4879	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥))
2	1	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 → ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥)
3		releldm 4919	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝑥) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐴𝑅𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝑅))
5	4	exlimdv 1843	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (∃𝑥 𝐴𝑅𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝑅))
6	2, 5	impbid2 143	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝐴𝑅𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  dom cdm 4680  Rel wrel 4685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-br 4049  df-opab 4111  df-xp 4686  df-rel 4687  df-dm 4690

This theorem is referenced by: (None)