Theorem ressnop0 5739

Description: If A is not in C, then the restriction of a singleton of <. A , B >. to C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ressnop0	|- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Proof of Theorem ressnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 4693	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> A e. C )
2	1	con3i 633	. 2 |- ( -. A e. C -> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
3		df-res 4671	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) )
4		incom 3351	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
5	3, 4	eqtri 2214	. . 3 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
6		disjsn 3680	. . . 4 |- ( ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) <-> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) )
8	5, 7	eqtrid 2238	. 2 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   X. cxp 4657   |` cres 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-res 4671

This theorem is referenced by:  fvunsng  5752  fsnunres  5760