Theorem ressnop0 5666

Description: If A is not in C, then the restriction of a singleton of <. A , B >. to C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ressnop0	|- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Proof of Theorem ressnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 4638	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> A e. C )
2	1	con3i 622	. 2 |- ( -. A e. C -> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
3		df-res 4616	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) )
4		incom 3314	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
5	3, 4	eqtri 2186	. . 3 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
6		disjsn 3638	. . . 4 |- ( ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) <-> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
7	6	biimpri 132	. . 3 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) )
8	5, 7	syl5eq 2211	. 2 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   X. cxp 4602   |` cres 4606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610  df-res 4616

This theorem is referenced by:  fvunsng  5679  fsnunres  5687