Theorem ressnop0 5699

Description: If A is not in C, then the restriction of a singleton of <. A , B >. to C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ressnop0	|- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Proof of Theorem ressnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 4662	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> A e. C )
2	1	con3i 632	. 2 |- ( -. A e. C -> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
3		df-res 4640	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) )
4		incom 3329	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
5	3, 4	eqtri 2198	. . 3 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
6		disjsn 3656	. . . 4 |- ( ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) <-> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) )
8	5, 7	eqtrid 2222	. 2 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   X. cxp 4626   |` cres 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-opab 4067  df-xp 4634  df-res 4640

This theorem is referenced by:  fvunsng  5712  fsnunres  5720