ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressnop0 Unicode version

Theorem ressnop0 5569
Description: If  A is not in  C, then the restriction of a singleton of  <. A ,  B >. to  C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
ressnop0  |-  ( -.  A  e.  C  -> 
( { <. A ,  B >. }  |`  C )  =  (/) )

Proof of Theorem ressnop0
StepHypRef Expression
1 opelxp1 4543 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V )  ->  A  e.  C
)
21con3i 606 . 2  |-  ( -.  A  e.  C  ->  -.  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V ) )
3 df-res 4521 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  C )  =  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( C  X.  _V ) )
4 incom 3238 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  B >. }  i^i  ( C  X.  _V ) )  =  ( ( C  X.  _V )  i^i  { <. A ,  B >. } )
53, 4eqtri 2138 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  C )  =  ( ( C  X.  _V )  i^i  { <. A ,  B >. } )
6 disjsn 3555 . . . 4  |-  ( ( ( C  X.  _V )  i^i  { <. A ,  B >. } )  =  (/) 
<->  -.  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V ) )
76biimpri 132 . . 3  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V )  ->  ( ( C  X.  _V )  i^i 
{ <. A ,  B >. } )  =  (/) )
85, 7syl5eq 2162 . 2  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V )  ->  ( { <. A ,  B >. }  |`  C )  =  (/) )
92, 8syl 14 1  |-  ( -.  A  e.  C  -> 
( { <. A ,  B >. }  |`  C )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    i^i cin 3040   (/)c0 3333   {csn 3497   <.cop 3500    X. cxp 4507    |` cres 4511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-opab 3960  df-xp 4515  df-res 4521
This theorem is referenced by:  fvunsng  5582  fsnunres  5590
  Copyright terms: Public domain W3C validator