ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressnop0 Unicode version

Theorem ressnop0 5492
Description: If  A is not in  C, then the restriction of a singleton of  <. A ,  B >. to  C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
ressnop0  |-  ( -.  A  e.  C  -> 
( { <. A ,  B >. }  |`  C )  =  (/) )

Proof of Theorem ressnop0
StepHypRef Expression
1 opelxp1 4485 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V )  ->  A  e.  C
)
21con3i 598 . 2  |-  ( -.  A  e.  C  ->  -.  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V ) )
3 df-res 4464 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  C )  =  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( C  X.  _V ) )
4 incom 3193 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  B >. }  i^i  ( C  X.  _V ) )  =  ( ( C  X.  _V )  i^i  { <. A ,  B >. } )
53, 4eqtri 2109 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  C )  =  ( ( C  X.  _V )  i^i  { <. A ,  B >. } )
6 disjsn 3508 . . . 4  |-  ( ( ( C  X.  _V )  i^i  { <. A ,  B >. } )  =  (/) 
<->  -.  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V ) )
76biimpri 132 . . 3  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V )  ->  ( ( C  X.  _V )  i^i 
{ <. A ,  B >. } )  =  (/) )
85, 7syl5eq 2133 . 2  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  _V )  ->  ( { <. A ,  B >. }  |`  C )  =  (/) )
92, 8syl 14 1  |-  ( -.  A  e.  C  -> 
( { <. A ,  B >. }  |`  C )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1290    e. wcel 1439   _Vcvv 2620    i^i cin 2999   (/)c0 3287   {csn 3450   <.cop 3453    X. cxp 4450    |` cres 4454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-opab 3906  df-xp 4458  df-res 4464
This theorem is referenced by:  fvunsng  5505  fsnunres  5513
  Copyright terms: Public domain W3C validator