Theorem ressnop0 5819

Description: If A is not in C, then the restriction of a singleton of <. A , B >. to C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ressnop0	|- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Proof of Theorem ressnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 4752	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> A e. C )
2	1	con3i 635	. 2 |- ( -. A e. C -> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
3		df-res 4730	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) )
4		incom 3396	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
5	3, 4	eqtri 2250	. . 3 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
6		disjsn 3728	. . . 4 |- ( ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) <-> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) )
8	5, 7	eqtrid 2274	. 2 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666   <.cop 3669   X. cxp 4716   |` cres 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4145  df-xp 4724  df-res 4730

This theorem is referenced by:  fvunsng  5832  fsnunres  5840