Theorem ressnop0 5843

Description: If 𝐴 is not in 𝐶, then the restriction of a singleton of ⟨𝐴, 𝐵⟩ to 𝐶 is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ressnop0	⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ 𝐶) = ∅)

Proof of Theorem ressnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 4765	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × V) → 𝐴 ∈ 𝐶)
2	1	con3i 637	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × V))
3		df-res 4743	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ 𝐶) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∩ (𝐶 × V))
4		incom 3401	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∩ (𝐶 × V)) = ((𝐶 × V) ∩ {⟨𝐴, 𝐵⟩})
5	3, 4	eqtri 2252	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ 𝐶) = ((𝐶 × V) ∩ {⟨𝐴, 𝐵⟩})
6		disjsn 3735	. . . 4 ⊢ (((𝐶 × V) ∩ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × V))
7	6	biimpri 133	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × V) → ((𝐶 × V) ∩ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅)
8	5, 7	eqtrid 2276	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × V) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ 𝐶) = ∅)
9	2, 8	syl 14	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ 𝐶) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∩ cin 3200  ∅c0 3496  {csn 3673  ⟨cop 3676   × cxp 4729   ↾ cres 4733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-opab 4156  df-xp 4737  df-res 4743

This theorem is referenced by:  fvunsng  5856  fsnunres  5864