Theorem fpr 5888

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpr.1	|- A e. _V
fpr.2	|- B e. _V
fpr.3	|- C e. _V
fpr.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
fpr	|- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpr.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		fpr.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		fpr.3	. . . . . 6 |- C e. _V
4		fpr.4	. . . . . 6 |- D e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5428	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )
6	3, 4	dmprop 5257	. . . . 5 |- dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B }
7	5, 6	jctir 313	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
8		df-fn 5375	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } <-> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
10		df-pr 3712	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11	10	rneqi 5005	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
12		rnun 5191	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13	1	rnsnop 5263	. . . . . . 7 |- ran { <. A , C >. } = { C }
14	2	rnsnop 5263	. . . . . . 7 |- ran { <. B , D >. } = { D }
15	13, 14	uneq12i 3381	. . . . . 6 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } )
16		df-pr 3712	. . . . . 6 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
17	15, 16	eqtr4i 2262	. . . . 5 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = { C , D }
18	11, 12, 17	3eqtri 2263	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D }
19	18	eqimssi 3304	. . 3 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D }
20	9, 19	jctir 313	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
21		df-f 5376	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   {cpr 3706   <.cop 3708   dom cdm 4769   ran crn 4770   Fun wfun 5366   Fn wfn 5367   -->wf 5368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376

This theorem is referenced by: (None)