Theorem fpr 5740

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpr.1	|- A e. _V
fpr.2	|- B e. _V
fpr.3	|- C e. _V
fpr.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
fpr	|- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpr.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		fpr.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		fpr.3	. . . . . 6 |- C e. _V
4		fpr.4	. . . . . 6 |- D e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5306	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )
6	3, 4	dmprop 5140	. . . . 5 |- dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B }
7	5, 6	jctir 313	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
8		df-fn 5257	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } <-> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
10		df-pr 3625	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11	10	rneqi 4890	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
12		rnun 5074	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13	1	rnsnop 5146	. . . . . . 7 |- ran { <. A , C >. } = { C }
14	2	rnsnop 5146	. . . . . . 7 |- ran { <. B , D >. } = { D }
15	13, 14	uneq12i 3311	. . . . . 6 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } )
16		df-pr 3625	. . . . . 6 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
17	15, 16	eqtr4i 2217	. . . . 5 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = { C , D }
18	11, 12, 17	3eqtri 2218	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D }
19	18	eqimssi 3235	. . 3 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D }
20	9, 19	jctir 313	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
21		df-f 5258	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621   dom cdm 4659   ran crn 4660   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   -->wf 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258

This theorem is referenced by: (None)