Theorem fpr 5768

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpr.1	|- A e. _V
fpr.2	|- B e. _V
fpr.3	|- C e. _V
fpr.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
fpr	|- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpr.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		fpr.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		fpr.3	. . . . . 6 |- C e. _V
4		fpr.4	. . . . . 6 |- D e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5327	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )
6	3, 4	dmprop 5158	. . . . 5 |- dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B }
7	5, 6	jctir 313	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
8		df-fn 5275	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } <-> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
10		df-pr 3640	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11	10	rneqi 4907	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
12		rnun 5092	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13	1	rnsnop 5164	. . . . . . 7 |- ran { <. A , C >. } = { C }
14	2	rnsnop 5164	. . . . . . 7 |- ran { <. B , D >. } = { D }
15	13, 14	uneq12i 3325	. . . . . 6 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } )
16		df-pr 3640	. . . . . 6 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
17	15, 16	eqtr4i 2229	. . . . 5 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = { C , D }
18	11, 12, 17	3eqtri 2230	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D }
19	18	eqimssi 3249	. . 3 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D }
20	9, 19	jctir 313	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
21		df-f 5276	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   _Vcvv 2772   u. cun 3164   C_ wss 3166   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   dom cdm 4676   ran crn 4677   Fun wfun 5266   Fn wfn 5267   -->wf 5268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276

This theorem is referenced by: (None)