Theorem fsnunres 5513

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	|- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5136	. . . 4 |- ( F Fn S -> ( F |` S ) = F )
2	1	adantr 271	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( F |` S ) = F )
3		ressnop0 5492	. . . 4 |- ( -. X e. S -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
4	3	adantl 272	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
5	2, 4	uneq12d 3156	. 2 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) ) = ( F u. (/) ) )
6		resundir 4740	. 2 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) )
7		un0 3320	. . 3 |- ( F u. (/) ) = F
8	7	eqcomi 2093	. 2 |- F = ( F u. (/) )
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2146	1 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   u. cun 2998   (/)c0 3287   {csn 3450   <.cop 3453   |` cres 4453   Fn wfn 5023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-dm 4461  df-res 4463  df-fun 5030  df-fn 5031

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6104  tfr1onlemsucaccv  6120  tfrcllemsucaccv  6133