Theorem fsnunres 5721

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	|- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5327	. . . 4 |- ( F Fn S -> ( F |` S ) = F )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( F |` S ) = F )
3		ressnop0 5700	. . . 4 |- ( -. X e. S -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
5	2, 4	uneq12d 3292	. 2 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) ) = ( F u. (/) ) )
6		resundir 4923	. 2 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) )
7		un0 3458	. . 3 |- ( F u. (/) ) = F
8	7	eqcomi 2181	. 2 |- F = ( F u. (/) )
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2235	1 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   |` cres 4630   Fn wfn 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-dm 4638  df-res 4640  df-fun 5220  df-fn 5221

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6329  tfr1onlemsucaccv  6345  tfrcllemsucaccv  6358