Theorem fsnunres 5891

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	|- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5472	. . . 4 |- ( F Fn S -> ( F |` S ) = F )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( F |` S ) = F )
3		ressnop0 5870	. . . 4 |- ( -. X e. S -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
5	2, 4	uneq12d 3378	. 2 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) ) = ( F u. (/) ) )
6		resundir 5057	. 2 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) )
7		un0 3546	. . 3 |- ( F u. (/) ) = F
8	7	eqcomi 2238	. 2 |- F = ( F u. (/) )
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2292	1 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   (/)c0 3512   {csn 3694   <.cop 3697   |` cres 4756   Fn wfn 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-dm 4764  df-res 4766  df-fun 5359  df-fn 5360

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6569  tfr1onlemsucaccv  6585  tfrcllemsucaccv  6598