Theorem fsnunres 5687

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	|- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5297	. . . 4 |- ( F Fn S -> ( F |` S ) = F )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( F |` S ) = F )
3		ressnop0 5666	. . . 4 |- ( -. X e. S -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
5	2, 4	uneq12d 3277	. 2 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) ) = ( F u. (/) ) )
6		resundir 4898	. 2 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) )
7		un0 3442	. . 3 |- ( F u. (/) ) = F
8	7	eqcomi 2169	. 2 |- F = ( F u. (/) )
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2224	1 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   |` cres 4606   Fn wfn 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-dm 4614  df-res 4616  df-fun 5190  df-fn 5191

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6293  tfr1onlemsucaccv  6309  tfrcllemsucaccv  6322