ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng Unicode version

Theorem fvunsng 5621
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3560 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  { D } )
2 fvres 5452 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D )  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
4 resundir 4840 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )
5 elsni 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { D }  ->  B  =  D )
65necon3ai 2358 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  D  ->  -.  B  e.  { D } )
7 ressnop0 5608 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  { D }  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  D  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
98uneq2d 3234 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) ) )
10 un0 3400 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) )  =  ( A  |`  { D } )
119, 10eqtrdi 2189 . . . . 5  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( A  |`  { D } ) )
124, 11syl5eq 2185 . . . 4  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( A  |`  { D } ) )
1312fveq1d 5430 . . 3  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  |`  { D } ) `  D
) )
143, 13sylan9req 2194 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( ( A  |`  { D } ) `
 D ) )
15 fvres 5452 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
161, 15syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
1716adantr 274 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
1814, 17eqtrd 2173 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309    u. cun 3073   (/)c0 3367   {csn 3531   <.cop 3534    |` cres 4548   ` cfv 5130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-res 4558  df-iota 5095  df-fv 5138
This theorem is referenced by:  fvpr1  5631  fvpr1g  5633  fvpr2g  5634  fvtp1g  5635  tfrlemisucaccv  6229  tfr1onlemsucaccv  6245  tfrcllemsucaccv  6258  ac6sfi  6799  0tonninf  10242  1tonninf  10243  hashennn  10557  zfz1isolemiso  10613
  Copyright terms: Public domain W3C validator