ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng Unicode version

Theorem fvunsng 5582
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3524 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  { D } )
2 fvres 5413 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D )  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
4 resundir 4803 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )
5 elsni 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { D }  ->  B  =  D )
65necon3ai 2334 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  D  ->  -.  B  e.  { D } )
7 ressnop0 5569 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  { D }  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  D  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
98uneq2d 3200 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) ) )
10 un0 3366 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) )  =  ( A  |`  { D } )
119, 10syl6eq 2166 . . . . 5  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( A  |`  { D } ) )
124, 11syl5eq 2162 . . . 4  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( A  |`  { D } ) )
1312fveq1d 5391 . . 3  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  |`  { D } ) `  D
) )
143, 13sylan9req 2171 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( ( A  |`  { D } ) `
 D ) )
15 fvres 5413 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
161, 15syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
1716adantr 274 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
1814, 17eqtrd 2150 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285    u. cun 3039   (/)c0 3333   {csn 3497   <.cop 3500    |` cres 4511   ` cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-res 4521  df-iota 5058  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  fvpr1  5592  fvpr1g  5594  fvpr2g  5595  fvtp1g  5596  tfrlemisucaccv  6190  tfr1onlemsucaccv  6206  tfrcllemsucaccv  6219  ac6sfi  6760  0tonninf  10180  1tonninf  10181  hashennn  10494  zfz1isolemiso  10550
  Copyright terms: Public domain W3C validator