Theorem fvunsng 5878

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	|- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3718	. . . 4 |- ( D e. V -> D e. { D } )
2		fvres 5694	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
4		resundir 5052	. . . . 5 |- ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) )
5		elsni 3707	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { D } -> B = D )
6	5	necon3ai 2461	. . . . . . . 8 |- ( B =/= D -> -. B e. { D } )
7		ressnop0 5865	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. { D } -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B =/= D -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
9	8	uneq2d 3373	. . . . . 6 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( ( A |` { D } ) u. (/) ) )
10		un0 3542	. . . . . 6 |- ( ( A |` { D } ) u. (/) ) = ( A |` { D } )
11	9, 10	eqtrdi 2281	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( A |` { D } ) )
12	4, 11	eqtrid 2277	. . . 4 |- ( B =/= D -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( A |` { D } ) )
13	12	fveq1d 5672	. . 3 |- ( B =/= D -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
14	3, 13	sylan9req 2286	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
15		fvres 5694	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
17	16	adantr 276	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
18	14, 17	eqtrd 2265	1 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   u. cun 3209   (/)c0 3508   {csn 3689   <.cop 3692   |` cres 4751   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-res 4761  df-iota 5312  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fvpr1  5888  fvpr1g  5890  fvpr2g  5891  fvtp1g  5892  tfrlemisucaccv  6556  tfr1onlemsucaccv  6572  tfrcllemsucaccv  6585  ac6sfi  7155  0tonninf  10802  1tonninf  10803  hashennn  11143  zfz1isolemiso  11211  cats1un  11413  nninfctlemfo  12736