ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng Unicode version

Theorem fvunsng 5546
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3501 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  { D } )
2 fvres 5377 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D )  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
4 resundir 4769 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )
5 elsni 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { D }  ->  B  =  D )
65necon3ai 2316 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  D  ->  -.  B  e.  { D } )
7 ressnop0 5533 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  { D }  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  D  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
98uneq2d 3177 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) ) )
10 un0 3343 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) )  =  ( A  |`  { D } )
119, 10syl6eq 2148 . . . . 5  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( A  |`  { D } ) )
124, 11syl5eq 2144 . . . 4  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( A  |`  { D } ) )
1312fveq1d 5355 . . 3  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  |`  { D } ) `  D
) )
143, 13sylan9req 2153 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( ( A  |`  { D } ) `
 D ) )
15 fvres 5377 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
161, 15syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
1716adantr 272 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
1814, 17eqtrd 2132 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1299    e. wcel 1448    =/= wne 2267    u. cun 3019   (/)c0 3310   {csn 3474   <.cop 3477    |` cres 4479   ` cfv 5059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-res 4489  df-iota 5024  df-fv 5067
This theorem is referenced by:  fvpr1  5556  fvpr1g  5558  fvpr2g  5559  fvtp1g  5560  tfrlemisucaccv  6152  tfr1onlemsucaccv  6168  tfrcllemsucaccv  6181  ac6sfi  6721  0tonninf  10053  1tonninf  10054  hashennn  10367  zfz1isolemiso  10423
  Copyright terms: Public domain W3C validator