Theorem fvunsng 5900

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	|- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3734	. . . 4 |- ( D e. V -> D e. { D } )
2		fvres 5714	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
4		resundir 5072	. . . . 5 |- ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) )
5		elsni 3723	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { D } -> B = D )
6	5	necon3ai 2469	. . . . . . . 8 |- ( B =/= D -> -. B e. { D } )
7		ressnop0 5887	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. { D } -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B =/= D -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
9	8	uneq2d 3383	. . . . . 6 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( ( A |` { D } ) u. (/) ) )
10		un0 3556	. . . . . 6 |- ( ( A |` { D } ) u. (/) ) = ( A |` { D } )
11	9, 10	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( A |` { D } ) )
12	4, 11	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( B =/= D -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( A |` { D } ) )
13	12	fveq1d 5692	. . 3 |- ( B =/= D -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
14	3, 13	sylan9req 2292	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
15		fvres 5714	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
17	16	adantr 276	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
18	14, 17	eqtrd 2271	1 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3705   <.cop 3708   |` cres 4771   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-res 4781  df-iota 5332  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fvpr1  5910  fvpr1g  5912  fvpr2g  5913  fvtp1g  5914  tfrlemisucaccv  6586  tfr1onlemsucaccv  6602  tfrcllemsucaccv  6615  ac6sfi  7192  0tonninf  10855  1tonninf  10856  hashennn  11197  zfz1isolemiso  11269  cats1un  11471  nninfctlemfo  12795