ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng Unicode version

Theorem fvunsng 5433
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3447 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  { D } )
2 fvres 5274 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D )  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
4 resundir 4685 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )
5 elsni 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { D }  ->  B  =  D )
65necon3ai 2298 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  D  ->  -.  B  e.  { D } )
7 ressnop0 5420 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  { D }  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  D  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
98uneq2d 3138 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) ) )
10 un0 3299 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) )  =  ( A  |`  { D } )
119, 10syl6eq 2131 . . . . 5  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( A  |`  { D } ) )
124, 11syl5eq 2127 . . . 4  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( A  |`  { D } ) )
1312fveq1d 5255 . . 3  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  |`  { D } ) `  D
) )
143, 13sylan9req 2136 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( ( A  |`  { D } ) `
 D ) )
15 fvres 5274 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
161, 15syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
1716adantr 270 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
1814, 17eqtrd 2115 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249    u. cun 2982   (/)c0 3269   {csn 3422   <.cop 3425    |` cres 4403   ` cfv 4969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-res 4413  df-iota 4934  df-fv 4977
This theorem is referenced by:  fvpr1  5441  fvpr1g  5443  fvpr2g  5444  fvtp1g  5445  tfrlemisucaccv  6022  tfr1onlemsucaccv  6038  tfrcllemsucaccv  6051  ac6sfi  6544  0tonninf  9734  1tonninf  9735  hashennn  10023
  Copyright terms: Public domain W3C validator