ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvunsng Unicode version

Theorem fvunsng 5456
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvunsng  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )

Proof of Theorem fvunsng
StepHypRef Expression
1 snidg 3458 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  { D } )
2 fvres 5294 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D )  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
4 resundir 4697 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )
5 elsni 3449 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { D }  ->  B  =  D )
65necon3ai 2300 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  D  ->  -.  B  e.  { D } )
7 ressnop0 5443 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  { D }  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  D  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
98uneq2d 3143 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) ) )
10 un0 3305 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) )  =  ( A  |`  { D } )
119, 10syl6eq 2133 . . . . 5  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( A  |`  { D } ) )
124, 11syl5eq 2129 . . . 4  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( A  |`  { D } ) )
1312fveq1d 5272 . . 3  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  |`  { D } ) `  D
) )
143, 13sylan9req 2138 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( ( A  |`  { D } ) `
 D ) )
15 fvres 5294 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
161, 15syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
1716adantr 270 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
1814, 17eqtrd 2117 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  B  =/=  D )  -> 
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251    u. cun 2986   (/)c0 3275   {csn 3431   <.cop 3434    |` cres 4415   ` cfv 4983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-res 4425  df-iota 4948  df-fv 4991
This theorem is referenced by:  fvpr1  5464  fvpr1g  5466  fvpr2g  5467  fvtp1g  5468  tfrlemisucaccv  6046  tfr1onlemsucaccv  6062  tfrcllemsucaccv  6075  ac6sfi  6568  0tonninf  9776  1tonninf  9777  hashennn  10088  zfz1isolemiso  10144
  Copyright terms: Public domain W3C validator