Theorem fvunsng 5546

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	|- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3501	. . . 4 |- ( D e. V -> D e. { D } )
2		fvres 5377	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
4		resundir 4769	. . . . 5 |- ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) )
5		elsni 3492	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { D } -> B = D )
6	5	necon3ai 2316	. . . . . . . 8 |- ( B =/= D -> -. B e. { D } )
7		ressnop0 5533	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. { D } -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B =/= D -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
9	8	uneq2d 3177	. . . . . 6 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( ( A |` { D } ) u. (/) ) )
10		un0 3343	. . . . . 6 |- ( ( A |` { D } ) u. (/) ) = ( A |` { D } )
11	9, 10	syl6eq 2148	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( A |` { D } ) )
12	4, 11	syl5eq 2144	. . . 4 |- ( B =/= D -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( A |` { D } ) )
13	12	fveq1d 5355	. . 3 |- ( B =/= D -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
14	3, 13	sylan9req 2153	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
15		fvres 5377	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
17	16	adantr 272	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
18	14, 17	eqtrd 2132	1 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   =/= wne 2267   u. cun 3019   (/)c0 3310   {csn 3474   <.cop 3477   |` cres 4479   ` cfv 5059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-res 4489  df-iota 5024  df-fv 5067

This theorem is referenced by:  fvpr1  5556  fvpr1g  5558  fvpr2g  5559  fvtp1g  5560  tfrlemisucaccv  6152  tfr1onlemsucaccv  6168  tfrcllemsucaccv  6181  ac6sfi  6721  0tonninf  10053  1tonninf  10054  hashennn  10367  zfz1isolemiso  10423