Theorem fvunsng 5679

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	|- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3605	. . . 4 |- ( D e. V -> D e. { D } )
2		fvres 5510	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) )
4		resundir 4898	. . . . 5 |- ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) )
5		elsni 3594	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { D } -> B = D )
6	5	necon3ai 2385	. . . . . . . 8 |- ( B =/= D -> -. B e. { D } )
7		ressnop0 5666	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. { D } -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B =/= D -> ( { <. B , C >. } |` { D } ) = (/) )
9	8	uneq2d 3276	. . . . . 6 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( ( A |` { D } ) u. (/) ) )
10		un0 3442	. . . . . 6 |- ( ( A |` { D } ) u. (/) ) = ( A |` { D } )
11	9, 10	eqtrdi 2215	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( ( A |` { D } ) u. ( { <. B , C >. } |` { D } ) ) = ( A |` { D } ) )
12	4, 11	syl5eq 2211	. . . 4 |- ( B =/= D -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) = ( A |` { D } ) )
13	12	fveq1d 5488	. . 3 |- ( B =/= D -> ( ( ( A u. { <. B , C >. } ) |` { D } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
14	3, 13	sylan9req 2220	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( ( A |` { D } ) ` D ) )
15		fvres 5510	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
17	16	adantr 274	. 2 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A |` { D } ) ` D ) = ( A ` D ) )
18	14, 17	eqtrd 2198	1 |- ( ( D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( A u. { <. B , C >. } ) ` D ) = ( A ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   u. cun 3114   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   |` cres 4606   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-res 4616  df-iota 5153  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvpr1  5689  fvpr1g  5691  fvpr2g  5692  fvtp1g  5693  tfrlemisucaccv  6293  tfr1onlemsucaccv  6309  tfrcllemsucaccv  6322  ac6sfi  6864  0tonninf  10374  1tonninf  10375  hashennn  10693  zfz1isolemiso  10752