Theorem fnasrng 5814

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnasrng	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Proof of Theorem fnasrng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmptg 5813	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
3	2	rnmpt 4971	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
4		velsn 3683	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
5	4	rexbii 2537	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
6	5	abbii 2345	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
7	3, 6	eqtr4i 2253	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
8		df-iun 3966	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9	7, 8	eqtr4i 2253	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
10	1, 9	eqtr4di 2280	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   {csn 3666   <.cop 3669   U_ciun 3964   |-> cmpt 4144   ran crn 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324

This theorem is referenced by:  resfunexg  5859