Theorem fnasrng 5773

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnasrng	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Proof of Theorem fnasrng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmptg 5772	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
2		eqid 2206	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
3	2	rnmpt 4935	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
4		velsn 3655	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
5	4	rexbii 2514	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
6	5	abbii 2322	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
7	3, 6	eqtr4i 2230	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
8		df-iun 3935	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9	7, 8	eqtr4i 2230	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
10	1, 9	eqtr4di 2257	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   {cab 2192   A.wral 2485   E.wrex 2486   {csn 3638   <.cop 3641   U_ciun 3933   |-> cmpt 4113   ran crn 4684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287

This theorem is referenced by:  resfunexg  5818