Theorem fnasrng 5827

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnasrng	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Proof of Theorem fnasrng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmptg 5826	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
3	2	rnmpt 4980	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
4		velsn 3686	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
5	4	rexbii 2539	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
6	5	abbii 2347	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
7	3, 6	eqtr4i 2255	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
8		df-iun 3972	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9	7, 8	eqtr4i 2255	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
10	1, 9	eqtr4di 2282	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   E.wrex 2511   {csn 3669   <.cop 3672   U_ciun 3970   |-> cmpt 4150   ran crn 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333

This theorem is referenced by:  resfunexg  5874