ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnasrng Unicode version

Theorem fnasrng 5461
Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnasrng  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ran  ( x  e.  A  |->  <. x ,  B >. ) )

Proof of Theorem fnasrng
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmptg 5460 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
2 eqid 2088 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  <. x ,  B >. )  =  ( x  e.  A  |->  <.
x ,  B >. )
32rnmpt 4671 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  A  |->  <.
x ,  B >. )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  <. x ,  B >. }
4 velsn 3458 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { <. x ,  B >. }  <->  y  =  <. x ,  B >. )
54rexbii 2385 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  { <. x ,  B >. }  <->  E. x  e.  A  y  =  <. x ,  B >. )
65abbii 2203 . . . 4  |-  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  { <. x ,  B >. } }  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  <. x ,  B >. }
73, 6eqtr4i 2111 . . 3  |-  ran  (
x  e.  A  |->  <.
x ,  B >. )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  { <. x ,  B >. } }
8 df-iun 3727 . . 3  |-  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  {
y  |  E. x  e.  A  y  e.  {
<. x ,  B >. } }
97, 8eqtr4i 2111 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  <.
x ,  B >. )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }
101, 9syl6eqr 2138 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ran  ( x  e.  A  |->  <. x ,  B >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   {csn 3441   <.cop 3444   U_ciun 3725    |-> cmpt 3891   ran crn 4429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009
This theorem is referenced by:  resfunexg  5500
  Copyright terms: Public domain W3C validator