Theorem fnasrng 5860

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnasrng	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Proof of Theorem fnasrng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmptg 5859	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
2		eqid 2234	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
3	2	rnmpt 5007	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
4		velsn 3708	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
5	4	rexbii 2551	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
6	5	abbii 2350	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
7	3, 6	eqtr4i 2258	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
8		df-iun 3995	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9	7, 8	eqtr4i 2258	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
10	1, 9	eqtr4di 2285	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   {csn 3691   <.cop 3694   U_ciun 3993   |-> cmpt 4173   ran crn 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361

This theorem is referenced by:  resfunexg  5907