Theorem rexun 3302

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	|- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2450	. 2 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
2		19.43 1616	. . 3 |- ( E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
3		elun 3263	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
5		andir 809	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
7	6	exbii 1593	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
9		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
10	8, 9	orbi12i 754	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 211	. 2 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )
12	1, 11	bitri 183	1 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   u. cun 3114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120

This theorem is referenced by:  rexprg  3628  rextpg  3630  iunxun  3945  finexdc  6868  exfzdc  10175  dvdsprmpweqnn  12267