Theorem rexun 3357

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	|- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2491	. 2 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
2		19.43 1652	. . 3 |- ( E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
3		elun 3318	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
5		andir 821	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
7	6	exbii 1629	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		df-rex 2491	. . . 4 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
9		df-rex 2491	. . . 4 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
10	8, 9	orbi12i 766	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )
12	1, 11	bitri 184	1 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   E.wex 1516   e. wcel 2177   E.wrex 2486   u. cun 3168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174

This theorem is referenced by:  rexprg  3690  rextpg  3692  iunxun  4013  finexdc  7014  nninfwlpoimlemg  7292  exfzdc  10391  dvdsprmpweqnn  12734