Theorem rexun 3307

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	|- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2454	. 2 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
2		19.43 1621	. . 3 |- ( E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
3		elun 3268	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	anbi1i 455	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
5		andir 814	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
7	6	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
9		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
10	8, 9	orbi12i 759	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 211	. 2 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )
12	1, 11	bitri 183	1 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   u. cun 3119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125

This theorem is referenced by:  rexprg  3635  rextpg  3637  iunxun  3952  finexdc  6880  nninfwlpoimlemg  7151  exfzdc  10196  dvdsprmpweqnn  12289