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Theorem rexun 3327
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2471 . 2  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph ) )
2 19.43 1638 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
) )
3 elun 3288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
43anbi1i 458 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ph ) )
5 andir 820 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
64, 5bitri 184 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
) )
76exbii 1615 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2471 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
9 df-rex 2471 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  ph  <->  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
)
108, 9orbi12i 765 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
112, 7, 103bitr4i 212 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
121, 11bitri 184 1  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709   E.wex 1502    e. wcel 2158   E.wrex 2466    u. cun 3139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145
This theorem is referenced by:  rexprg  3656  rextpg  3658  iunxun  3978  finexdc  6916  nninfwlpoimlemg  7187  exfzdc  10254  dvdsprmpweqnn  12349
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