Theorem rexun 3389

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	|- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2517	. 2 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
2		19.43 1677	. . 3 |- ( E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
3		elun 3350	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
5		andir 827	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
7	6	exbii 1654	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		df-rex 2517	. . . 4 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
9		df-rex 2517	. . . 4 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
10	8, 9	orbi12i 772	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )
12	1, 11	bitri 184	1 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   u. cun 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205

This theorem is referenced by:  rexprg  3725  rextpg  3727  iunxun  4055  finexdc  7135  nninfwlpoimlemg  7417  exfzdc  10532  dvdsprmpweqnn  12972