ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexun GIF version

Theorem rexun 3178
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2365 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑))
2 19.43 1564 . . 3 (∃𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
3 elun 3139 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
43anbi1i 446 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑))
5 andir 768 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
64, 5bitri 182 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
76exbii 1541 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
8 df-rex 2365 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
9 df-rex 2365 . . . 4 (∃𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑))
108, 9orbi12i 716 . . 3 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
112, 7, 103bitr4i 210 . 2 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))
121, 11bitri 182 1 (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wo 664  wex 1426  wcel 1438  wrex 2360  cun 2995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001
This theorem is referenced by:  rexprg  3489  rextpg  3491  iunxun  3804  finexdc  6598  exfzdc  9616
  Copyright terms: Public domain W3C validator