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Theorem finexdc 7060
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem finexdc
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2729 . . 3 |- ( w = (/) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. (/) ph ) )
21dcbid 843 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. (/) ph ) )
3 rexeq 2729 . . 3 |- ( w = y -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. y ph ) )
43dcbid 843 . 2 |- ( w = y -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. y ph ) )
5 rexeq 2729 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 843 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 rexeq 2729 . . 3 |- ( w = A -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. A ph ) )
87dcbid 843 . 2 |- ( w = A -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. A ph ) )
9 rex0 3509 . . . . 5 |- -. E. x e. (/) ph
109olci 737 . . . 4 |- ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph )
11 df-dc 840 . . . 4 |- (DECID E. x e. (/) ph <-> ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 146 . . 3 |- DECID E. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. (/) ph )
14 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> [ z / x ] ph )
15 sbsbc 3032 . . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ph <-> [. z / x ]. ph )
16 rexsns 3705 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
1715, 16bitr4i 187 . . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ph <-> E. x e. { z } ph )
1814, 17sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. { z } ph )
1918olcd 739 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
20 rexun 3384 . . . . . . 7 |- ( E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2119, 20sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2221orcd 738 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
23 df-dc 840 . . . . 5 |- (DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2422, 23sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
25 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. y ph )
2625orcd 738 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2726, 20sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2827orcd 738 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
30 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. y ph )
31 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. [ z / x ] ph )
3217notbii 672 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. [ z / x ] ph <-> -. E. x e. { z } ph )
3331, 32sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
3433adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
35 ioran 757 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) <-> ( -. E. x e. y ph /\ -. E. x e. { z } ph ) )
3630, 34, 35sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3720notbii 672 . . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3836, 37sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. ( y u. { z } ) ph )
3938olcd 739 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
41 exmiddc 841 . . . . . 6 |- (DECID E. x e. y ph -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4241ad2antlr 489 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 803 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
44 simplrr 536 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
4544eldifad 3208 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. A )
46 simp-4r 542 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
47 nfs1v 1990 . . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ph
4847nfdc 1705 . . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ph
49 sbequ12 1817 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ph <-> [ z / x ] ph ) )
5049dcbid 843 . . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [ z / x ] ph ) )
5148, 50rspc 2901 . . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [ z / x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID [ z / x ] ph )
53 exmiddc 841 . . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ph -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 803 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
5655ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID E. x e. y ph -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
57 simpl 109 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 7050 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   [wsb 1808   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   [.wsbc 3028   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   Fincfn 6885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  7061  nninfwlpoimlemg  7338  nninfwlpoimlemginf  7339  4sqleminfi  12915
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