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Theorem finexdc 6618
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem finexdc
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2563 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  (/)  ph )
)
21dcbid 786 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  (/)  ph ) )
3 rexeq 2563 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  y  ph ) )
43dcbid 786 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  y  ph ) )
5 rexeq 2563 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
65dcbid 786 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (DECID 
E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
7 rexeq 2563 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  A  ph ) )
87dcbid 786 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  A  ph ) )
9 rex0 3300 . . . . 5  |-  -.  E. x  e.  (/)  ph
109olci 686 . . . 4  |-  ( E. x  e.  (/)  ph  \/  -.  E. x  e.  (/)  ph )
11 df-dc 781 . . . 4  |-  (DECID  E. x  e.  (/)  ph  <->  ( E. x  e.  (/)  ph  \/  -.  E. x  e.  (/)  ph )
)
1210, 11mpbir 144 . . 3  |- DECID  E. x  e.  (/)  ph
1312a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  (/)  ph )
14 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  [ z  /  x ] ph )
15 sbsbc 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  x ] ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph )
16 rexsns 3482 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
1715, 16bitr4i 185 . . . . . . . . 9  |-  ( [ z  /  x ] ph 
<->  E. x  e.  {
z } ph )
1814, 17sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  E. x  e.  { z } ph )
1918olcd 688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
20 rexun 3180 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  <->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
2119, 20sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph )
2221orcd 687 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph ) )
23 df-dc 781 . . . . 5  |-  (DECID  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
)
2422, 23sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
25 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  E. x  e.  y 
ph )
2625orcd 687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  { z } ph ) )
2726, 20sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
2827orcd 687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
30 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  y  ph )
31 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  -.  [ z  /  x ] ph )
3217notbii 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
[ z  /  x ] ph  <->  -.  E. x  e.  { z } ph )
3331, 32sylib 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  -.  E. x  e.  { z } ph )
3433adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  { z } ph )
35 ioran 704 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  { z } ph )  <->  ( -.  E. x  e.  y  ph  /\ 
-.  E. x  e.  {
z } ph )
)
3630, 34, 35sylanbrc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
3720notbii 629 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  <->  -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e. 
{ z } ph ) )
3836, 37sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph )
3938olcd 688 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
41 exmiddc 782 . . . . . 6  |-  (DECID  E. x  e.  y  ph  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  -.  E. x  e.  y  ph ) )
4241ad2antlr 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  -.  E. x  e.  y  ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 747 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
44 simplrr 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
4544eldifad 3010 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  A )
46 simp-4r 509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  A. x  e.  A DECID  ph )
47 nfs1v 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ x [ z  /  x ] ph
4847nfdc 1594 . . . . . . 7  |-  F/ xDECID  [ z  /  x ] ph
49 sbequ12 1701 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  x ] ph ) )
5049dcbid 786 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  ph  <-> DECID  [ z  /  x ] ph ) )
5148, 50rspc 2716 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A DECID  ph  -> DECID  [ z  /  x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  -> DECID  [ z  /  x ] ph )
53 exmiddc 782 . . . . 5  |-  (DECID  [ z  /  x ] ph  ->  ( [ z  /  x ] ph  \/  -.  [ z  /  x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  ( [ z  /  x ] ph  \/  -.  [
z  /  x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 747 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
5655ex 113 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (DECID 
E. x  e.  y 
ph  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
)
57 simpl 107 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  ->  A  e.  Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6608 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   [wsb 1692   A.wral 2359   E.wrex 2360   [.wsbc 2840    \ cdif 2996    u. cun 2997    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   Fincfn 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6619
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