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Theorem finexdc 6895
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem finexdc
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2673 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  (/)  ph )
)
21dcbid 838 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  (/)  ph ) )
3 rexeq 2673 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  y  ph ) )
43dcbid 838 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  y  ph ) )
5 rexeq 2673 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
65dcbid 838 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (DECID 
E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
7 rexeq 2673 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  A  ph ) )
87dcbid 838 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  A  ph ) )
9 rex0 3440 . . . . 5  |-  -.  E. x  e.  (/)  ph
109olci 732 . . . 4  |-  ( E. x  e.  (/)  ph  \/  -.  E. x  e.  (/)  ph )
11 df-dc 835 . . . 4  |-  (DECID  E. x  e.  (/)  ph  <->  ( E. x  e.  (/)  ph  \/  -.  E. x  e.  (/)  ph )
)
1210, 11mpbir 146 . . 3  |- DECID  E. x  e.  (/)  ph
1312a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  (/)  ph )
14 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  [ z  /  x ] ph )
15 sbsbc 2966 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  x ] ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph )
16 rexsns 3630 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
1715, 16bitr4i 187 . . . . . . . . 9  |-  ( [ z  /  x ] ph 
<->  E. x  e.  {
z } ph )
1814, 17sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  E. x  e.  { z } ph )
1918olcd 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
20 rexun 3315 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  <->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
2119, 20sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph )
2221orcd 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph ) )
23 df-dc 835 . . . . 5  |-  (DECID  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
)
2422, 23sylibr 134 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
25 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  E. x  e.  y 
ph )
2625orcd 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  { z } ph ) )
2726, 20sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
2827orcd 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
30 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  y  ph )
31 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  -.  [ z  /  x ] ph )
3217notbii 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
[ z  /  x ] ph  <->  -.  E. x  e.  { z } ph )
3331, 32sylib 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  -.  E. x  e.  { z } ph )
3433adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  { z } ph )
35 ioran 752 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  { z } ph )  <->  ( -.  E. x  e.  y  ph  /\ 
-.  E. x  e.  {
z } ph )
)
3630, 34, 35sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
3720notbii 668 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  <->  -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e. 
{ z } ph ) )
3836, 37sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph )
3938olcd 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
41 exmiddc 836 . . . . . 6  |-  (DECID  E. x  e.  y  ph  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  -.  E. x  e.  y  ph ) )
4241ad2antlr 489 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  -.  E. x  e.  y  ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 798 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
44 simplrr 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
4544eldifad 3140 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  A )
46 simp-4r 542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  A. x  e.  A DECID  ph )
47 nfs1v 1939 . . . . . . . 8  |-  F/ x [ z  /  x ] ph
4847nfdc 1659 . . . . . . 7  |-  F/ xDECID  [ z  /  x ] ph
49 sbequ12 1771 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  x ] ph ) )
5049dcbid 838 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  ph  <-> DECID  [ z  /  x ] ph ) )
5148, 50rspc 2835 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A DECID  ph  -> DECID  [ z  /  x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  -> DECID  [ z  /  x ] ph )
53 exmiddc 836 . . . . 5  |-  (DECID  [ z  /  x ] ph  ->  ( [ z  /  x ] ph  \/  -.  [ z  /  x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  ( [ z  /  x ] ph  \/  -.  [
z  /  x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 798 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
5655ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (DECID 
E. x  e.  y 
ph  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
)
57 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  ->  A  e.  Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6885 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353   [wsb 1762    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [.wsbc 2962    \ cdif 3126    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   Fincfn 6733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-er 6528  df-en 6734  df-fin 6736
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6896  nninfwlpoimlemg  7166  nninfwlpoimlemginf  7167
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