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Theorem finexdc 7160
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem finexdc
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2742 . . 3 |- ( w = (/) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. (/) ph ) )
21dcbid 846 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. (/) ph ) )
3 rexeq 2742 . . 3 |- ( w = y -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. y ph ) )
43dcbid 846 . 2 |- ( w = y -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. y ph ) )
5 rexeq 2742 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 846 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 rexeq 2742 . . 3 |- ( w = A -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. A ph ) )
87dcbid 846 . 2 |- ( w = A -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. A ph ) )
9 rex0 3526 . . . . 5 |- -. E. x e. (/) ph
109olci 740 . . . 4 |- ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph )
11 df-dc 843 . . . 4 |- (DECID E. x e. (/) ph <-> ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 146 . . 3 |- DECID E. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. (/) ph )
14 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> [ z / x ] ph )
15 sbsbc 3046 . . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ph <-> [. z / x ]. ph )
16 rexsns 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
1715, 16bitr4i 187 . . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ph <-> E. x e. { z } ph )
1814, 17sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. { z } ph )
1918olcd 742 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
20 rexun 3399 . . . . . . 7 |- ( E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2119, 20sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2221orcd 741 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
23 df-dc 843 . . . . 5 |- (DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2422, 23sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
25 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. y ph )
2625orcd 741 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2726, 20sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2827orcd 741 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
30 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. y ph )
31 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. [ z / x ] ph )
3217notbii 674 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. [ z / x ] ph <-> -. E. x e. { z } ph )
3331, 32sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
3433adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
35 ioran 760 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) <-> ( -. E. x e. y ph /\ -. E. x e. { z } ph ) )
3630, 34, 35sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3720notbii 674 . . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3836, 37sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. ( y u. { z } ) ph )
3938olcd 742 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
41 exmiddc 844 . . . . . 6 |- (DECID E. x e. y ph -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4241ad2antlr 489 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 806 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
44 simplrr 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
4544eldifad 3222 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. A )
46 simp-4r 544 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
47 nfs1v 1993 . . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ph
4847nfdc 1707 . . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ph
49 sbequ12 1820 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ph <-> [ z / x ] ph ) )
5049dcbid 846 . . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [ z / x ] ph ) )
5148, 50rspc 2915 . . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [ z / x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID [ z / x ] ph )
53 exmiddc 844 . . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ph -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 806 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
5655ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID E. x e. y ph -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
57 simpl 109 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 7149 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   [wsb 1811   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   [.wsbc 3042   \ cdif 3208   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   Fincfn 6975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  7161  nninfwlpoimlemg  7466  nninfwlpoimlemginf  7467  4sqleminfi  13095
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