ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  finexdc Unicode version
Theorem finexdc 7197
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem finexdc
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2750 . . 3 |- ( w = (/) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. (/) ph ) )
21dcbid 850 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. (/) ph ) )
3 rexeq 2750 . . 3 |- ( w = y -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. y ph ) )
43dcbid 850 . 2 |- ( w = y -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. y ph ) )
5 rexeq 2750 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 850 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 rexeq 2750 . . 3 |- ( w = A -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. A ph ) )
87dcbid 850 . 2 |- ( w = A -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. A ph ) )
9 rex0 3539 . . . . 5 |- -. E. x e. (/) ph
109olci 744 . . . 4 |- ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph )
11 df-dc 847 . . . 4 |- (DECID E. x e. (/) ph <-> ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 146 . . 3 |- DECID E. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. (/) ph )
14 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> [ z / x ] ph )
15 sbsbc 3055 . . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ph <-> [. z / x ]. ph )
16 rexsns 3744 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
1715, 16bitr4i 187 . . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ph <-> E. x e. { z } ph )
1814, 17sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. { z } ph )
1918olcd 746 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
20 rexun 3409 . . . . . . 7 |- ( E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2119, 20sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2221orcd 745 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
23 df-dc 847 . . . . 5 |- (DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2422, 23sylibr 134 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
25 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. y ph )
2625orcd 745 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2726, 20sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2827orcd 745 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
30 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. y ph )
31 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. [ z / x ] ph )
3217notbii 678 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. [ z / x ] ph <-> -. E. x e. { z } ph )
3331, 32sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
3433adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
35 ioran 764 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) <-> ( -. E. x e. y ph /\ -. E. x e. { z } ph ) )
3630, 34, 35sylanbrc 421 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3720notbii 678 . . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3836, 37sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. ( y u. { z } ) ph )
3938olcd 746 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
41 exmiddc 848 . . . . . 6 |- (DECID E. x e. y ph -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4241ad2antlr 493 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 810 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
44 simplrr 542 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
4544eldifad 3231 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. A )
46 simp-4r 548 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
47 nfs1v 1999 . . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ph
4847nfdc 1711 . . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ph
49 sbequ12 1824 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ph <-> [ z / x ] ph ) )
5049dcbid 850 . . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [ z / x ] ph ) )
5148, 50rspc 2923 . . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [ z / x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID [ z / x ] ph )
53 exmiddc 848 . . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ph -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 810 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
5655ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID E. x e. y ph -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
57 simpl 109 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 7186 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   [wsb 1815   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   [.wsbc 3051   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   Fincfn 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  7198  nninfwlpoimlemg  7505  nninfwlpoimlemginf  7506  4sqleminfi  13154
  Copyright terms: Public domain W3C validator