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Theorem finexdc 6796
 Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc DECID DECID
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem finexdc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2627 . . 3
21dcbid 823 . 2 DECID DECID
3 rexeq 2627 . . 3
43dcbid 823 . 2 DECID DECID
5 rexeq 2627 . . 3
65dcbid 823 . 2 DECID DECID
7 rexeq 2627 . . 3
87dcbid 823 . 2 DECID DECID
9 rex0 3380 . . . . 5
109olci 721 . . . 4
11 df-dc 820 . . . 4 DECID
1210, 11mpbir 145 . . 3 DECID
1312a1i 9 . 2 DECID DECID
14 simpr 109 . . . . . . . . 9 DECID DECID
15 sbsbc 2913 . . . . . . . . . 10
16 rexsns 3563 . . . . . . . . . 10
1715, 16bitr4i 186 . . . . . . . . 9
1814, 17sylib 121 . . . . . . . 8 DECID DECID
1918olcd 723 . . . . . . 7 DECID DECID
20 rexun 3256 . . . . . . 7
2119, 20sylibr 133 . . . . . 6 DECID DECID
2221orcd 722 . . . . 5 DECID DECID
23 df-dc 820 . . . . 5 DECID
2422, 23sylibr 133 . . . 4 DECID DECID DECID
25 simpr 109 . . . . . . . . 9 DECID DECID
2625orcd 722 . . . . . . . 8 DECID DECID
2726, 20sylibr 133 . . . . . . 7 DECID DECID
2827orcd 722 . . . . . 6 DECID DECID
2928, 23sylibr 133 . . . . 5 DECID DECID DECID
30 simpr 109 . . . . . . . . 9 DECID DECID
31 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 DECID DECID
3217notbii 657 . . . . . . . . . . 11
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . 10 DECID DECID
3433adantr 274 . . . . . . . . 9 DECID DECID
35 ioran 741 . . . . . . . . 9
3630, 34, 35sylanbrc 413 . . . . . . . 8 DECID DECID
3720notbii 657 . . . . . . . 8
3836, 37sylibr 133 . . . . . . 7 DECID DECID
3938olcd 723 . . . . . 6 DECID DECID
4039, 23sylibr 133 . . . . 5 DECID DECID DECID
41 exmiddc 821 . . . . . 6 DECID
4241ad2antlr 480 . . . . 5 DECID DECID
4329, 40, 42mpjaodan 787 . . . 4 DECID DECID DECID
44 simplrr 525 . . . . . . 7 DECID DECID
4544eldifad 3082 . . . . . 6 DECID DECID
46 simp-4r 531 . . . . . 6 DECID DECID DECID
47 nfs1v 1912 . . . . . . . 8
4847nfdc 1637 . . . . . . 7 DECID
49 sbequ12 1744 . . . . . . . 8
5049dcbid 823 . . . . . . 7 DECID DECID
5148, 50rspc 2783 . . . . . 6 DECID DECID
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 DECID DECID DECID
53 exmiddc 821 . . . . 5 DECID
5452, 53syl 14 . . . 4 DECID DECID
5524, 43, 54mpjaodan 787 . . 3 DECID DECID DECID
5655ex 114 . 2 DECID DECID DECID
57 simpl 108 . 2 DECID
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6786 1 DECID DECID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 697  DECID wdc 819   wceq 1331   wcel 1480  wsb 1735  wral 2416  wrex 2417  wsbc 2909   cdif 3068   cun 3069   wss 3071  c0 3363  csn 3527  cfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637 This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6797
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