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Theorem finexdc 6789
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem finexdc
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2625 . . 3 |- ( w = (/) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. (/) ph ) )
21dcbid 823 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. (/) ph ) )
3 rexeq 2625 . . 3 |- ( w = y -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. y ph ) )
43dcbid 823 . 2 |- ( w = y -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. y ph ) )
5 rexeq 2625 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 823 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 rexeq 2625 . . 3 |- ( w = A -> ( E. x e. w ph <-> E. x e. A ph ) )
87dcbid 823 . 2 |- ( w = A -> (DECID E. x e. w ph <-> DECID E. x e. A ph ) )
9 rex0 3375 . . . . 5 |- -. E. x e. (/) ph
109olci 721 . . . 4 |- ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph )
11 df-dc 820 . . . 4 |- (DECID E. x e. (/) ph <-> ( E. x e. (/) ph \/ -. E. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 145 . . 3 |- DECID E. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. (/) ph )
14 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> [ z / x ] ph )
15 sbsbc 2908 . . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ph <-> [. z / x ]. ph )
16 rexsns 3558 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
1715, 16bitr4i 186 . . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ph <-> E. x e. { z } ph )
1814, 17sylib 121 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. { z } ph )
1918olcd 723 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
20 rexun 3251 . . . . . . 7 |- ( E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2119, 20sylibr 133 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2221orcd 722 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
23 df-dc 820 . . . . 5 |- (DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2422, 23sylibr 133 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
25 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. y ph )
2625orcd 722 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
2726, 20sylibr 133 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> E. x e. ( y u. { z } ) ph )
2827orcd 722 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 133 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
30 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. y ph )
31 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. [ z / x ] ph )
3217notbii 657 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. [ z / x ] ph <-> -. E. x e. { z } ph )
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
3433adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. { z } ph )
35 ioran 741 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) <-> ( -. E. x e. y ph /\ -. E. x e. { z } ph ) )
3630, 34, 35sylanbrc 413 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3720notbii 657 . . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. ( y u. { z } ) ph <-> -. ( E. x e. y ph \/ E. x e. { z } ph ) )
3836, 37sylibr 133 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> -. E. x e. ( y u. { z } ) ph )
3938olcd 723 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> ( E. x e. ( y u. { z } ) ph \/ -. E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 133 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) /\ -. E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
41 exmiddc 821 . . . . . 6 |- (DECID E. x e. y ph -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4241ad2antlr 480 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> ( E. x e. y ph \/ -. E. x e. y ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 787 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) /\ -. [ z / x ] ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
44 simplrr 525 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
4544eldifad 3077 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> z e. A )
46 simp-4r 531 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
47 nfs1v 1910 . . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ph
4847nfdc 1637 . . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ph
49 sbequ12 1744 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ph <-> [ z / x ] ph ) )
5049dcbid 823 . . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [ z / x ] ph ) )
5148, 50rspc 2778 . . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [ z / x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID [ z / x ] ph )
53 exmiddc 821 . . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ph -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> ( [ z / x ] ph \/ -. [ z / x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 787 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID E. x e. y ph ) -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph )
5655ex 114 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID E. x e. y ph -> DECID E. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
57 simpl 108 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6779 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   [wsb 1735   A.wral 2414   E.wrex 2415   [.wsbc 2904   \ cdif 3063   u. cun 3064   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   Fincfn 6627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6790
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