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Theorem finexdc 6764
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem finexdc
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2604 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  (/)  ph )
)
21dcbid 808 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  (/)  ph ) )
3 rexeq 2604 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  y  ph ) )
43dcbid 808 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  y  ph ) )
5 rexeq 2604 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
65dcbid 808 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (DECID 
E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
7 rexeq 2604 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  w  ph  <->  E. x  e.  A  ph ) )
87dcbid 808 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (DECID  E. x  e.  w  ph  <-> DECID  E. x  e.  A  ph ) )
9 rex0 3350 . . . . 5  |-  -.  E. x  e.  (/)  ph
109olci 706 . . . 4  |-  ( E. x  e.  (/)  ph  \/  -.  E. x  e.  (/)  ph )
11 df-dc 805 . . . 4  |-  (DECID  E. x  e.  (/)  ph  <->  ( E. x  e.  (/)  ph  \/  -.  E. x  e.  (/)  ph )
)
1210, 11mpbir 145 . . 3  |- DECID  E. x  e.  (/)  ph
1312a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  (/)  ph )
14 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  [ z  /  x ] ph )
15 sbsbc 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  x ] ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph )
16 rexsns 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
1715, 16bitr4i 186 . . . . . . . . 9  |-  ( [ z  /  x ] ph 
<->  E. x  e.  {
z } ph )
1814, 17sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  E. x  e.  { z } ph )
1918olcd 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
20 rexun 3226 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  <->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
2119, 20sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph )
2221orcd 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph ) )
23 df-dc 805 . . . . 5  |-  (DECID  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
)
2422, 23sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  [ z  /  x ] ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
25 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  E. x  e.  y 
ph )
2625orcd 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  { z } ph ) )
2726, 20sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
2827orcd 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
2928, 23sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  E. x  e.  y  ph )  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
30 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  y  ph )
31 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  -.  [ z  /  x ] ph )
3217notbii 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
[ z  /  x ] ph  <->  -.  E. x  e.  { z } ph )
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  -.  E. x  e.  { z } ph )
3433adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  { z } ph )
35 ioran 726 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  { z } ph )  <->  ( -.  E. x  e.  y  ph  /\ 
-.  E. x  e.  {
z } ph )
)
3630, 34, 35sylanbrc 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e.  {
z } ph )
)
3720notbii 642 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph  <->  -.  ( E. x  e.  y  ph  \/  E. x  e. 
{ z } ph ) )
3836, 37sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph )
3938olcd 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  ->  ( E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  \/  -.  E. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
4039, 23sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  /\  -.  E. x  e.  y  ph )  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
41 exmiddc 806 . . . . . 6  |-  (DECID  E. x  e.  y  ph  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  -.  E. x  e.  y  ph ) )
4241ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  ->  ( E. x  e.  y  ph  \/  -.  E. x  e.  y  ph ) )
4329, 40, 42mpjaodan 772 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y  ph )  /\  -.  [ z  /  x ] ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
44 simplrr 510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
4544eldifad 3052 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  A )
46 simp-4r 516 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  A. x  e.  A DECID  ph )
47 nfs1v 1892 . . . . . . . 8  |-  F/ x [ z  /  x ] ph
4847nfdc 1622 . . . . . . 7  |-  F/ xDECID  [ z  /  x ] ph
49 sbequ12 1729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  x ] ph ) )
5049dcbid 808 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  ph  <-> DECID  [ z  /  x ] ph ) )
5148, 50rspc 2757 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A DECID  ph  -> DECID  [ z  /  x ] ph ) )
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  -> DECID  [ z  /  x ] ph )
53 exmiddc 806 . . . . 5  |-  (DECID  [ z  /  x ] ph  ->  ( [ z  /  x ] ph  \/  -.  [ z  /  x ] ph ) )
5452, 53syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  ->  ( [ z  /  x ] ph  \/  -.  [
z  /  x ] ph ) )
5524, 43, 54mpjaodan 772 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  E. x  e.  y 
ph )  -> DECID  E. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
5655ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (DECID 
E. x  e.  y 
ph  -> DECID  E. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
)
57 simpl 108 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  ->  A  e.  Fin )
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6754 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   [wsb 1720   A.wral 2393   E.wrex 2394   [.wsbc 2882    \ cdif 3038    u. cun 3039    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {csn 3497   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6765
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