Theorem exfzdc 10549

Description: Decidability of the existence of an integer defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exfzdc.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
exfzdc.2	|- ( ph -> N e. ZZ )
exfzdc.3	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
exfzdc	|- ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )

Distinct variable groups:   n, M   n, N   ph, n

Allowed substitution hint:   ps( n)

Proof of Theorem exfzdc

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exfzdc.1	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		exfzdc.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		eluz 9830	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
5	4	biimpar 297	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		simpl 109	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ph )
7		eluzfz2 10329	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
8		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
9	8	rexeqdv 2738	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... M ) ps ) )
10	9	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( w = M -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... M ) ps ) )
11	10	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... M ) ps ) ) )
12		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( M ... w ) = ( M ... y ) )
13	12	rexeqdv 2738	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... y ) ps ) )
14	13	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( w = y -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) ) )
16		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( y + 1 ) ) )
17	16	rexeqdv 2738	. . . . . . 7 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) )
18	17	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) ) )
20		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
21	20	rexeqdv 2738	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... N ) ps ) )
22	21	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( w = N -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) )
23	22	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) ) )
24		eluzfz1 10328	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
26		exfzdc.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> DECID ps )
27	26	ralrimiva 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. ( M ... N )DECID ps )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. ( M ... N )DECID ps )
29		nfsbc1v 3051	. . . . . . . . . 10 |- F/ n [. M / n ]. ps
30	29	nfdc 1707	. . . . . . . . 9 |- F/ nDECID [. M / n ]. ps
31		sbceq1a 3042	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ps <-> [. M / n ]. ps ) )
32	31	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> (DECID ps <-> DECID [. M / n ]. ps ) )
33	30, 32	rspc 2905	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. n e. ( M ... N )DECID ps -> DECID [. M / n ]. ps ) )
34	25, 28, 33	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID [. M / n ]. ps )
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
36		fzsn 10363	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... M ) = { M } )
38	37	rexeqdv 2738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( E. n e. ( M ... M ) ps <-> E. n e. { M } ps ) )
39		rexsns 3712	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. { M } ps <-> [. M / n ]. ps )
40	38, 39	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( E. n e. ( M ... M ) ps <-> [. M / n ]. ps ) )
41	40	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> (DECID E. n e. ( M ... M ) ps <-> DECID [. M / n ]. ps ) )
42	34, 41	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID E. n e. ( M ... M ) ps )
43	42	expcom 116	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... M ) ps ) )
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. ( M ... y ) ps )
45		fzofzp1 10535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
47	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> A. n e. ( M ... N )DECID ps )
48		nfsbc1v 3051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [. ( y + 1 ) / n ]. ps
49	48	nfdc 1707	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ nDECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps
50		sbceq1a 3042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( y + 1 ) -> ( ps <-> [. ( y + 1 ) / n ]. ps ) )
51	50	dcbid 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( y + 1 ) -> (DECID ps <-> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps ) )
52	49, 51	rspc 2905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. n e. ( M ... N )DECID ps -> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps ) )
53	46, 47, 52	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps )
54		rexsns 3712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. { ( y + 1 ) } ps <-> [. ( y + 1 ) / n ]. ps )
55	54	dcbii 848	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID E. n e. { ( y + 1 ) } ps <-> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps )
56	53, 55	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. { ( y + 1 ) } ps )
57		dcor 944	. . . . . . . . . 10 |- (DECID E. n e. ( M ... y ) ps -> (DECID E. n e. { ( y + 1 ) } ps -> DECID ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) ) )
58	44, 56, 57	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) )
59		rexun 3389	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps <-> ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) )
60	59	dcbii 848	. . . . . . . . 9 |- (DECID E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps <-> DECID ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) )
61	58, 60	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps )
62		elfzouz 10448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64		fzsuc 10366	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) )
66	65	rexeqdv 2738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps <-> E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps ) )
67	66	dcbid 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> (DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps <-> DECID E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps ) )
68	61, 67	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps )
69	68	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ph -> (DECID E. n e. ( M ... y ) ps -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) ) )
70	69	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) ) )
71	11, 15, 19, 23, 43, 70	fzind2 10548	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) )
72	7, 71	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) )
73	5, 6, 72	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )
74		rex0 3514	. . . . 5 |- -. E. n e. (/) ps
75		zltnle 9586	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
76	2, 1, 75	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
77	76	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> N < M )
78		fzn 10339	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
79	1, 2, 78	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( M ... N ) = (/) )
82	81	rexeqdv 2738	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( E. n e. ( M ... N ) ps <-> E. n e. (/) ps ) )
83	74, 82	mtbiri 682	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> -. E. n e. ( M ... N ) ps )
84	83	olcd 742	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( E. n e. ( M ... N ) ps \/ -. E. n e. ( M ... N ) ps ) )
85		df-dc 843	. . 3 |- (DECID E. n e. ( M ... N ) ps <-> ( E. n e. ( M ... N ) ps \/ -. E. n e. ( M ... N ) ps ) )
86	84, 85	sylibr 134	. 2 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )
87		zdcle 9617	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
88		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID M <_ N -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
89	87, 88	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
90	1, 2, 89	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
91	73, 86, 90	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   [.wsbc 3032   u. cun 3199   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by:  prmind2  12772  4sqlemafi  13048  4sqexercise1  13051  4sqexercise2  13052  4sqlemsdc  13053