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Theorem exfzdc 9910
Description: Decidability of the existence of an integer defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exfzdc.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
exfzdc.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
exfzdc.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
exfzdc  |-  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
Distinct variable groups:    n, M    n, N    ph, n
Allowed substitution hint:    ps( n)

Proof of Theorem exfzdc
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exfzdc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 exfzdc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3 eluz 9241 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
41, 2, 3syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
54biimpar 293 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 simpl 108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  ph )
7 eluzfz2 9705 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 oveq2 5736 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
98rexeqdv 2607 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
109dcbid 806 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
1110imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) ) )
12 oveq2 5736 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( M ... w )  =  ( M ... y
) )
1312rexeqdv 2607 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) )
1413dcbid 806 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) )
1514imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) ) )
16 oveq2 5736 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
1716rexeqdv 2607 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) )
1817dcbid 806 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) )
1918imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
20 oveq2 5736 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
2120rexeqdv 2607 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
2221dcbid 806 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
2322imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) ) )
24 eluzfz1 9704 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
2524adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
26 exfzdc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ps )
2726ralrimiva 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps )
2827adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. n  e.  ( M ... N
)DECID 
ps )
29 nfsbc1v 2896 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [. M  /  n ]. ps
3029nfdc 1620 . . . . . . . . 9  |-  F/ nDECID  [. M  /  n ]. ps
31 sbceq1a 2887 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<-> 
[. M  /  n ]. ps ) )
3231dcbid 806 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. M  /  n ]. ps )
)
3330, 32rspc 2754 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps  -> DECID  [. M  /  n ]. ps )
)
3425, 28, 33sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  [. M  /  n ]. ps )
351adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
36 fzsn 9739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3837rexeqdv 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. n  e.  ( M ... M ) ps  <->  E. n  e.  { M } ps ) )
39 rexsns 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  { M } ps  <->  [. M  /  n ]. ps )
4038, 39syl6bb 195 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. n  e.  ( M ... M ) ps  <->  [. M  /  n ]. ps ) )
4140dcbid 806 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... M
) ps  <-> DECID  [. M  /  n ]. ps ) )
4234, 41mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps )
4342expcom 115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )
45 fzofzp1 9897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
4645ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
4727ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  A. n  e.  ( M ... N
)DECID 
ps )
48 nfsbc1v 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps
4948nfdc 1620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ nDECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps
50 sbceq1a 2887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5150dcbid 806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5249, 51rspc 2754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps  -> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5346, 47, 52sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps )
54 rexsns 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps  <->  [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps )
5554dcbii 808 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps  <-> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps )
5653, 55sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  {
( y  +  1 ) } ps )
57 dcor 902 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  E. n  e.  ( M ... y
) ps  ->  (DECID  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps  -> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y
) ps  \/  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps ) ) )
5844, 56, 57sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y
) ps  \/  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps ) )
59 rexun 3222 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps  <->  ( E. n  e.  ( M ... y ) ps  \/  E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps ) )
6059dcbii 808 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) ps  <-> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y ) ps  \/  E. n  e. 
{ ( y  +  1 ) } ps ) )
6158, 60sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps )
62 elfzouz 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6362ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64 fzsuc 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
6665rexeqdv 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps  <->  E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps ) )
6766dcbid 806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps )
)
6861, 67mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps )
6968exp31 359 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  (DECID 
E. n  e.  ( M ... y ) ps  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
7069a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
7111, 15, 19, 23, 43, 70fzind2 9909 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
727, 71syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
735, 6, 72sylc 62 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
74 rex0 3346 . . . . 5  |-  -.  E. n  e.  (/)  ps
75 zltnle 9004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
762, 1, 75syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
7776biimpar 293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  N  <  M )
78 fzn 9715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
791, 2, 78syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
8079adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
8177, 80mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
8281rexeqdv 2607 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  <->  E. n  e.  (/)  ps )
)
8374, 82mtbiri 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  -.  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
8483olcd 706 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  \/  -.  E. n  e.  ( M ... N
) ps ) )
85 df-dc 803 . . 3  |-  (DECID  E. n  e.  ( M ... N
) ps  <->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  \/  -.  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
8684, 85sylibr 133 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
87 zdcle 9031 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  N )
88 exmiddc 804 . . . 4  |-  (DECID  M  <_  N  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N ) )
8987, 88syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
901, 2, 89syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
9173, 86, 90mpjaodan 770 1  |-  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   [.wsbc 2878    u. cun 3035   (/)c0 3329   {csn 3493   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   1c1 7548    + caddc 7550    < clt 7724    <_ cle 7725   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   ...cfz 9683  ..^cfzo 9812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-fzo 9813
This theorem is referenced by:  prmind2  11647
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