Theorem exfzdc 10132

Description: Decidability of the existence of an integer defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exfzdc.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
exfzdc.2	|- ( ph -> N e. ZZ )
exfzdc.3	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
exfzdc	|- ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )

Distinct variable groups:   n, M   n, N   ph, n

Allowed substitution hint:   ps( n)

Proof of Theorem exfzdc

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exfzdc.1	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		exfzdc.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		eluz 9446	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
5	4	biimpar 295	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		simpl 108	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ph )
7		eluzfz2 9927	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
8		oveq2 5829	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
9	8	rexeqdv 2659	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... M ) ps ) )
10	9	dcbid 824	. . . . . 6 |- ( w = M -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... M ) ps ) )
11	10	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... M ) ps ) ) )
12		oveq2 5829	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( M ... w ) = ( M ... y ) )
13	12	rexeqdv 2659	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... y ) ps ) )
14	13	dcbid 824	. . . . . 6 |- ( w = y -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) )
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) ) )
16		oveq2 5829	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( y + 1 ) ) )
17	16	rexeqdv 2659	. . . . . . 7 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) )
18	17	dcbid 824	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) )
19	18	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) ) )
20		oveq2 5829	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
21	20	rexeqdv 2659	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( E. n e. ( M ... w ) ps <-> E. n e. ( M ... N ) ps ) )
22	21	dcbid 824	. . . . . 6 |- ( w = N -> (DECID E. n e. ( M ... w ) ps <-> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) )
23	22	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... w ) ps ) <-> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) ) )
24		eluzfz1 9926	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
25	24	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
26		exfzdc.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> DECID ps )
27	26	ralrimiva 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. ( M ... N )DECID ps )
28	27	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. ( M ... N )DECID ps )
29		nfsbc1v 2955	. . . . . . . . . 10 |- F/ n [. M / n ]. ps
30	29	nfdc 1639	. . . . . . . . 9 |- F/ nDECID [. M / n ]. ps
31		sbceq1a 2946	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ps <-> [. M / n ]. ps ) )
32	31	dcbid 824	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> (DECID ps <-> DECID [. M / n ]. ps ) )
33	30, 32	rspc 2810	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. n e. ( M ... N )DECID ps -> DECID [. M / n ]. ps ) )
34	25, 28, 33	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID [. M / n ]. ps )
35	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
36		fzsn 9961	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... M ) = { M } )
38	37	rexeqdv 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( E. n e. ( M ... M ) ps <-> E. n e. { M } ps ) )
39		rexsns 3598	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. { M } ps <-> [. M / n ]. ps )
40	38, 39	bitrdi 195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( E. n e. ( M ... M ) ps <-> [. M / n ]. ps ) )
41	40	dcbid 824	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> (DECID E. n e. ( M ... M ) ps <-> DECID [. M / n ]. ps ) )
42	34, 41	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID E. n e. ( M ... M ) ps )
43	42	expcom 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... M ) ps ) )
44		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. ( M ... y ) ps )
45		fzofzp1 10119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
46	45	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
47	27	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> A. n e. ( M ... N )DECID ps )
48		nfsbc1v 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [. ( y + 1 ) / n ]. ps
49	48	nfdc 1639	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ nDECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps
50		sbceq1a 2946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( y + 1 ) -> ( ps <-> [. ( y + 1 ) / n ]. ps ) )
51	50	dcbid 824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( y + 1 ) -> (DECID ps <-> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps ) )
52	49, 51	rspc 2810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. n e. ( M ... N )DECID ps -> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps ) )
53	46, 47, 52	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps )
54		rexsns 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. { ( y + 1 ) } ps <-> [. ( y + 1 ) / n ]. ps )
55	54	dcbii 826	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID E. n e. { ( y + 1 ) } ps <-> DECID [. ( y + 1 ) / n ]. ps )
56	53, 55	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. { ( y + 1 ) } ps )
57		dcor 920	. . . . . . . . . 10 |- (DECID E. n e. ( M ... y ) ps -> (DECID E. n e. { ( y + 1 ) } ps -> DECID ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) ) )
58	44, 56, 57	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) )
59		rexun 3287	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps <-> ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) )
60	59	dcbii 826	. . . . . . . . 9 |- (DECID E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps <-> DECID ( E. n e. ( M ... y ) ps \/ E. n e. { ( y + 1 ) } ps ) )
61	58, 60	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps )
62		elfzouz 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
63	62	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64		fzsuc 9964	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) )
66	65	rexeqdv 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps <-> E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps ) )
67	66	dcbid 824	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> (DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps <-> DECID E. n e. ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ps ) )
68	61, 67	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ ph ) /\ DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps )
69	68	exp31 362	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ph -> (DECID E. n e. ( M ... y ) ps -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) ) )
70	69	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> DECID E. n e. ( M ... y ) ps ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... ( y + 1 ) ) ps ) ) )
71	11, 15, 19, 23, 43, 70	fzind2 10131	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) )
72	7, 71	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps ) )
73	5, 6, 72	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )
74		rex0 3411	. . . . 5 |- -. E. n e. (/) ps
75		zltnle 9207	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
76	2, 1, 75	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
77	76	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> N < M )
78		fzn 9937	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
79	1, 2, 78	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
80	79	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
81	77, 80	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( M ... N ) = (/) )
82	81	rexeqdv 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( E. n e. ( M ... N ) ps <-> E. n e. (/) ps ) )
83	74, 82	mtbiri 665	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> -. E. n e. ( M ... N ) ps )
84	83	olcd 724	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( E. n e. ( M ... N ) ps \/ -. E. n e. ( M ... N ) ps ) )
85		df-dc 821	. . 3 |- (DECID E. n e. ( M ... N ) ps <-> ( E. n e. ( M ... N ) ps \/ -. E. n e. ( M ... N ) ps ) )
86	84, 85	sylibr 133	. 2 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )
87		zdcle 9234	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
88		exmiddc 822	. . . 4 |- (DECID M <_ N -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
89	87, 88	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
90	1, 2, 89	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
91	73, 86, 90	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> DECID E. n e. ( M ... N ) ps )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   [.wsbc 2937   u. cun 3100   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   1c1 7727   + caddc 7729   < clt 7906   <_ cle 7907   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433   ...cfz 9905  ..^cfzo 10034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906  df-fzo 10035

This theorem is referenced by:  prmind2  11988