ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exfzdc Unicode version

Theorem exfzdc 10239
Description: Decidability of the existence of an integer defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exfzdc.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
exfzdc.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
exfzdc.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
exfzdc  |-  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
Distinct variable groups:    n, M    n, N    ph, n
Allowed substitution hint:    ps( n)

Proof of Theorem exfzdc
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exfzdc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 exfzdc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3 eluz 9540 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
54biimpar 297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 simpl 109 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  ph )
7 eluzfz2 10031 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
98rexeqdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
109dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
1110imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) ) )
12 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( M ... w )  =  ( M ... y
) )
1312rexeqdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) )
1413dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) ) )
16 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
1716rexeqdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) )
1817dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) )
1918imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
20 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
2120rexeqdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
2221dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
2322imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) ) )
24 eluzfz1 10030 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
2524adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
26 exfzdc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ps )
2726ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps )
2827adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. n  e.  ( M ... N
)DECID 
ps )
29 nfsbc1v 2981 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [. M  /  n ]. ps
3029nfdc 1659 . . . . . . . . 9  |-  F/ nDECID  [. M  /  n ]. ps
31 sbceq1a 2972 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<-> 
[. M  /  n ]. ps ) )
3231dcbid 838 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. M  /  n ]. ps )
)
3330, 32rspc 2835 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps  -> DECID  [. M  /  n ]. ps )
)
3425, 28, 33sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  [. M  /  n ]. ps )
351adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
36 fzsn 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3837rexeqdv 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. n  e.  ( M ... M ) ps  <->  E. n  e.  { M } ps ) )
39 rexsns 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  { M } ps  <->  [. M  /  n ]. ps )
4038, 39bitrdi 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. n  e.  ( M ... M ) ps  <->  [. M  /  n ]. ps ) )
4140dcbid 838 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... M
) ps  <-> DECID  [. M  /  n ]. ps ) )
4234, 41mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps )
4342expcom 116 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
44 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )
45 fzofzp1 10226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
4727ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  A. n  e.  ( M ... N
)DECID 
ps )
48 nfsbc1v 2981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps
4948nfdc 1659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ nDECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps
50 sbceq1a 2972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5150dcbid 838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5249, 51rspc 2835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps  -> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5346, 47, 52sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps )
54 rexsns 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps  <->  [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps )
5554dcbii 840 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps  <-> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps )
5653, 55sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  {
( y  +  1 ) } ps )
57 dcor 935 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  E. n  e.  ( M ... y
) ps  ->  (DECID  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps  -> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y
) ps  \/  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps ) ) )
5844, 56, 57sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y
) ps  \/  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps ) )
59 rexun 3315 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps  <->  ( E. n  e.  ( M ... y ) ps  \/  E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps ) )
6059dcbii 840 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) ps  <-> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y ) ps  \/  E. n  e. 
{ ( y  +  1 ) } ps ) )
6158, 60sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps )
62 elfzouz 10150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6362ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64 fzsuc 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
6665rexeqdv 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps  <->  E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps ) )
6766dcbid 838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps )
)
6861, 67mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps )
6968exp31 364 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  (DECID 
E. n  e.  ( M ... y ) ps  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
7069a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
7111, 15, 19, 23, 43, 70fzind2 10238 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
727, 71syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
735, 6, 72sylc 62 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
74 rex0 3440 . . . . 5  |-  -.  E. n  e.  (/)  ps
75 zltnle 9298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
762, 1, 75syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
7776biimpar 297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  N  <  M )
78 fzn 10041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
791, 2, 78syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
8079adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
8177, 80mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
8281rexeqdv 2679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  <->  E. n  e.  (/)  ps )
)
8374, 82mtbiri 675 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  -.  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
8483olcd 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  \/  -.  E. n  e.  ( M ... N
) ps ) )
85 df-dc 835 . . 3  |-  (DECID  E. n  e.  ( M ... N
) ps  <->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  \/  -.  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
8684, 85sylibr 134 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
87 zdcle 9328 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  N )
88 exmiddc 836 . . . 4  |-  (DECID  M  <_  N  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N ) )
8987, 88syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
901, 2, 89syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
9173, 86, 90mpjaodan 798 1  |-  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [.wsbc 2962    u. cun 3127   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7991    <_ cle 7992   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007  ..^cfzo 10141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142
This theorem is referenced by:  prmind2  12119
  Copyright terms: Public domain W3C validator