ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfwlpoimlemg Unicode version
Theorem nninfwlpoimlemg 7434
Description: Lemma for nninfwlpoim 7438. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f |- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x
Allowed substitution hints:   F( x)   G( x, i)
Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6652 . . . . . 6 |- (/) e. 2o
21a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
3 1lt2o 6653 . . . . . 6 |- 1o e. 2o
43a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5 peano2 4699 . . . . . . . 8 |- ( i e. om -> suc i e. om )
65adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. om )
7 nnfi 7102 . . . . . . 7 |- ( suc i e. om -> suc i e. Fin )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. Fin )
9 2ssom 6735 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : om --> 2o )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> F : om --> 2o )
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. suc i )
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> suc i e. om )
14 elnn 4710 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. suc i /\ suc i e. om ) -> x e. om )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. om )
1611, 15ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. 2o )
179, 16sselid 3226 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. om )
18 peano1 4698 . . . . . . . . 9 |- (/) e. om
1918a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> (/) e. om )
20 nndceq 6710 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` x ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2221ralrimiva 2606 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) )
23 finexdc 7135 . . . . . 6 |- ( ( suc i e. Fin /\ A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
252, 4, 24ifcldcd 3647 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
2725, 26fmptd 5809 . . 3 |- ( ph -> G : om --> 2o )
28 2onn 6732 . . . . 5 |- 2o e. om
2928elexi 2816 . . . 4 |- 2o e. _V
30 omex 4697 . . . 4 |- om e. _V
3129, 30elmap 6889 . . 3 |- ( G e. ( 2o ^m om ) <-> G : om --> 2o )
3227, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> G e. ( 2o ^m om ) )
33 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
3433iftrued 3616 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) = (/) )
35 suceq 4505 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> suc i = suc suc j )
3635rexeqdv 2738 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) ) )
3736ifbid 3631 . . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
38 peano2 4699 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. om )
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
42 peano2 4699 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( suc j e. om -> suc suc j e. om )
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. om )
44 nnfi 7102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc suc j e. om -> suc suc j e. Fin )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. Fin )
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> F : om --> 2o )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. suc suc j )
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> suc suc j e. om )
49 elnn 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. suc suc j /\ suc suc j e. om ) -> x e. om )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. om )
5146, 50ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
529, 51sselid 3226 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> (/) e. om )
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
5554ralrimiva 2606 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
56 finexdc 7135 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc suc j e. Fin /\ A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5840, 41, 57ifcldcd 3647 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5749 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
60 df-suc 4474 . . . . . . . . . . . 12 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
6160rexeqi 2736 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) )
62 rexun 3389 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
64 ifbi 3630 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o )
6659, 65eqtrdi 2280 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
67 nnfi 7102 . . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> suc j e. Fin )
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. Fin )
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> F : om --> 2o )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. suc j )
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> suc j e. om )
72 elnn 4710 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. suc j /\ suc j e. om ) -> x e. om )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. om )
7469, 73ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
759, 74sselid 3226 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> (/) e. om )
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
7877ralrimiva 2606 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
79 finexdc 7135 . . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. Fin /\ A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
81 ifordc 3651 . . . . . . . . 9 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8366, 82eqtrd 2264 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8483adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
85 suceq 4505 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> suc i = suc j )
8685rexeqdv 2738 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
8786ifbid 3631 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
88 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
8940, 41, 80ifcldcd 3647 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5749 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9233iftrued 3616 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = (/) )
9391, 92eqtrd 2264 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = (/) )
9434, 84, 933eqtr4d 2274 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = ( G ` j ) )
95 eqimss 3282 . . . . 5 |- ( ( G ` suc j ) = ( G ` j ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9694, 95syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9759, 58eqeltrd 2308 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) e. 2o )
98 el2oss1o 6654 . . . . . . 7 |- ( ( G ` suc j ) e. 2o -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
9997, 98syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10099adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10190adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
102 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
103102iffalsed 3619 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = 1o )
104101, 103eqtrd 2264 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = 1o )
105100, 104sseqtrrd 3267 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
106 exmiddc 844 . . . . 5 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10780, 106syl 14 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10896, 105, 107mpjaodan 806 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
109108ralrimiva 2606 . 2 |- ( ph -> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
110 fveq1 5647 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` suc j ) = ( G ` suc j ) )
111 fveq1 5647 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` j ) = ( G ` j ) )
112110, 111sseq12d 3259 . . . 4 |- ( f = G -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
113112ralbidv 2533 . . 3 |- ( f = G -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
114 df-nninf 7379 . . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
115113, 114elrab2 2966 . 2 |- ( G e. ℕ∞ <-> ( G e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
11632, 109, 115sylanbrc 417 1 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860   Fincfn 6952  ℕ∞xnninf 7378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-nninf 7379
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7436  nninfinfwlpolem  7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator