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Theorem nninfwlpoimlemg 7236
Description: Lemma for nninfwlpoim 7239. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f |- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x
Allowed substitution hints:   F( x)   G( x, i)
Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6496 . . . . . 6 |- (/) e. 2o
21a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
3 1lt2o 6497 . . . . . 6 |- 1o e. 2o
43a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5 peano2 4628 . . . . . . . 8 |- ( i e. om -> suc i e. om )
65adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. om )
7 nnfi 6930 . . . . . . 7 |- ( suc i e. om -> suc i e. Fin )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. Fin )
9 2ssom 6579 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : om --> 2o )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> F : om --> 2o )
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. suc i )
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> suc i e. om )
14 elnn 4639 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. suc i /\ suc i e. om ) -> x e. om )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. om )
1611, 15ffvelcdmd 5695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. 2o )
179, 16sselid 3178 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. om )
18 peano1 4627 . . . . . . . . 9 |- (/) e. om
1918a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> (/) e. om )
20 nndceq 6554 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` x ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2221ralrimiva 2567 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) )
23 finexdc 6960 . . . . . 6 |- ( ( suc i e. Fin /\ A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
252, 4, 24ifcldcd 3594 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
2725, 26fmptd 5713 . . 3 |- ( ph -> G : om --> 2o )
28 2onn 6576 . . . . 5 |- 2o e. om
2928elexi 2772 . . . 4 |- 2o e. _V
30 omex 4626 . . . 4 |- om e. _V
3129, 30elmap 6733 . . 3 |- ( G e. ( 2o ^m om ) <-> G : om --> 2o )
3227, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> G e. ( 2o ^m om ) )
33 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
3433iftrued 3565 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) = (/) )
35 suceq 4434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> suc i = suc suc j )
3635rexeqdv 2697 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) ) )
3736ifbid 3579 . . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
38 peano2 4628 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. om )
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
42 peano2 4628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( suc j e. om -> suc suc j e. om )
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. om )
44 nnfi 6930 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc suc j e. om -> suc suc j e. Fin )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. Fin )
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> F : om --> 2o )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. suc suc j )
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> suc suc j e. om )
49 elnn 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. suc suc j /\ suc suc j e. om ) -> x e. om )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. om )
5146, 50ffvelcdmd 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
529, 51sselid 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> (/) e. om )
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
5554ralrimiva 2567 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
56 finexdc 6960 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc suc j e. Fin /\ A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5840, 41, 57ifcldcd 3594 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5652 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
60 df-suc 4403 . . . . . . . . . . . 12 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
6160rexeqi 2695 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) )
62 rexun 3340 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
64 ifbi 3578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o )
6659, 65eqtrdi 2242 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
67 nnfi 6930 . . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> suc j e. Fin )
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. Fin )
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> F : om --> 2o )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. suc j )
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> suc j e. om )
72 elnn 4639 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. suc j /\ suc j e. om ) -> x e. om )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. om )
7469, 73ffvelcdmd 5695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
759, 74sselid 3178 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> (/) e. om )
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
7877ralrimiva 2567 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
79 finexdc 6960 . . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. Fin /\ A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
81 ifordc 3597 . . . . . . . . 9 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8366, 82eqtrd 2226 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8483adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
85 suceq 4434 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> suc i = suc j )
8685rexeqdv 2697 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
8786ifbid 3579 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
88 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
8940, 41, 80ifcldcd 3594 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5652 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9233iftrued 3565 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = (/) )
9391, 92eqtrd 2226 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = (/) )
9434, 84, 933eqtr4d 2236 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = ( G ` j ) )
95 eqimss 3234 . . . . 5 |- ( ( G ` suc j ) = ( G ` j ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9694, 95syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9759, 58eqeltrd 2270 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) e. 2o )
98 el2oss1o 6498 . . . . . . 7 |- ( ( G ` suc j ) e. 2o -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
9997, 98syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10099adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10190adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
102 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
103102iffalsed 3568 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = 1o )
104101, 103eqtrd 2226 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = 1o )
105100, 104sseqtrrd 3219 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
106 exmiddc 837 . . . . 5 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10780, 106syl 14 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10896, 105, 107mpjaodan 799 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
109108ralrimiva 2567 . 2 |- ( ph -> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
110 fveq1 5554 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` suc j ) = ( G ` suc j ) )
111 fveq1 5554 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` j ) = ( G ` j ) )
112110, 111sseq12d 3211 . . . 4 |- ( f = G -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
113112ralbidv 2494 . . 3 |- ( f = G -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
114 df-nninf 7181 . . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
115113, 114elrab2 2920 . 2 |- ( G e. ℕ∞ <-> ( G e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
11632, 109, 115sylanbrc 417 1 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3152   C_ wss 3154   (/)c0 3447   ifcif 3558   {csn 3619   |-> cmpt 4091   suc csuc 4397   omcom 4623   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1oc1o 6464   2oc2o 6465   ^m cmap 6704   Fincfn 6796  ℕ∞xnninf 7180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-fin 6799  df-nninf 7181
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7238
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