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Theorem nninfwlpoimlemg 7241
Description: Lemma for nninfwlpoim 7244. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f |- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x
Allowed substitution hints:   F( x)   G( x, i)
Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6499 . . . . . 6 |- (/) e. 2o
21a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
3 1lt2o 6500 . . . . . 6 |- 1o e. 2o
43a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5 peano2 4631 . . . . . . . 8 |- ( i e. om -> suc i e. om )
65adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. om )
7 nnfi 6933 . . . . . . 7 |- ( suc i e. om -> suc i e. Fin )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. Fin )
9 2ssom 6582 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : om --> 2o )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> F : om --> 2o )
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. suc i )
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> suc i e. om )
14 elnn 4642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. suc i /\ suc i e. om ) -> x e. om )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. om )
1611, 15ffvelcdmd 5698 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. 2o )
179, 16sselid 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. om )
18 peano1 4630 . . . . . . . . 9 |- (/) e. om
1918a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> (/) e. om )
20 nndceq 6557 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` x ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2221ralrimiva 2570 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) )
23 finexdc 6963 . . . . . 6 |- ( ( suc i e. Fin /\ A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
252, 4, 24ifcldcd 3597 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
2725, 26fmptd 5716 . . 3 |- ( ph -> G : om --> 2o )
28 2onn 6579 . . . . 5 |- 2o e. om
2928elexi 2775 . . . 4 |- 2o e. _V
30 omex 4629 . . . 4 |- om e. _V
3129, 30elmap 6736 . . 3 |- ( G e. ( 2o ^m om ) <-> G : om --> 2o )
3227, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> G e. ( 2o ^m om ) )
33 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
3433iftrued 3568 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) = (/) )
35 suceq 4437 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> suc i = suc suc j )
3635rexeqdv 2700 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) ) )
3736ifbid 3582 . . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
38 peano2 4631 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. om )
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
42 peano2 4631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( suc j e. om -> suc suc j e. om )
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. om )
44 nnfi 6933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc suc j e. om -> suc suc j e. Fin )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. Fin )
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> F : om --> 2o )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. suc suc j )
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> suc suc j e. om )
49 elnn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. suc suc j /\ suc suc j e. om ) -> x e. om )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. om )
5146, 50ffvelcdmd 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
529, 51sselid 3181 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> (/) e. om )
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
5554ralrimiva 2570 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
56 finexdc 6963 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc suc j e. Fin /\ A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5840, 41, 57ifcldcd 3597 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5655 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
60 df-suc 4406 . . . . . . . . . . . 12 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
6160rexeqi 2698 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) )
62 rexun 3343 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
64 ifbi 3581 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o )
6659, 65eqtrdi 2245 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
67 nnfi 6933 . . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> suc j e. Fin )
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. Fin )
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> F : om --> 2o )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. suc j )
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> suc j e. om )
72 elnn 4642 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. suc j /\ suc j e. om ) -> x e. om )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. om )
7469, 73ffvelcdmd 5698 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
759, 74sselid 3181 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> (/) e. om )
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
7877ralrimiva 2570 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
79 finexdc 6963 . . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. Fin /\ A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
81 ifordc 3600 . . . . . . . . 9 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8366, 82eqtrd 2229 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8483adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
85 suceq 4437 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> suc i = suc j )
8685rexeqdv 2700 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
8786ifbid 3582 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
88 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
8940, 41, 80ifcldcd 3597 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5655 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9233iftrued 3568 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = (/) )
9391, 92eqtrd 2229 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = (/) )
9434, 84, 933eqtr4d 2239 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = ( G ` j ) )
95 eqimss 3237 . . . . 5 |- ( ( G ` suc j ) = ( G ` j ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9694, 95syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9759, 58eqeltrd 2273 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) e. 2o )
98 el2oss1o 6501 . . . . . . 7 |- ( ( G ` suc j ) e. 2o -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
9997, 98syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10099adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10190adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
102 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
103102iffalsed 3571 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = 1o )
104101, 103eqtrd 2229 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = 1o )
105100, 104sseqtrrd 3222 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
106 exmiddc 837 . . . . 5 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10780, 106syl 14 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10896, 105, 107mpjaodan 799 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
109108ralrimiva 2570 . 2 |- ( ph -> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
110 fveq1 5557 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` suc j ) = ( G ` suc j ) )
111 fveq1 5557 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` j ) = ( G ` j ) )
112110, 111sseq12d 3214 . . . 4 |- ( f = G -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
113112ralbidv 2497 . . 3 |- ( f = G -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
114 df-nninf 7186 . . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
115113, 114elrab2 2923 . 2 |- ( G e. ℕ∞ <-> ( G e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
11632, 109, 115sylanbrc 417 1 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   {csn 3622   |-> cmpt 4094   suc csuc 4400   omcom 4626   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   2oc2o 6468   ^m cmap 6707   Fincfn 6799  ℕ∞xnninf 7185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-fin 6802  df-nninf 7186
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7243
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