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Theorem nninfwlpoimlemg 7303
Description: Lemma for nninfwlpoim 7307. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f |- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x
Allowed substitution hints:   F( x)   G( x, i)
Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6550 . . . . . 6 |- (/) e. 2o
21a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
3 1lt2o 6551 . . . . . 6 |- 1o e. 2o
43a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5 peano2 4661 . . . . . . . 8 |- ( i e. om -> suc i e. om )
65adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. om )
7 nnfi 6995 . . . . . . 7 |- ( suc i e. om -> suc i e. Fin )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> suc i e. Fin )
9 2ssom 6633 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : om --> 2o )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> F : om --> 2o )
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. suc i )
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> suc i e. om )
14 elnn 4672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. suc i /\ suc i e. om ) -> x e. om )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> x e. om )
1611, 15ffvelcdmd 5739 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. 2o )
179, 16sselid 3199 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> ( F ` x ) e. om )
18 peano1 4660 . . . . . . . . 9 |- (/) e. om
1918a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> (/) e. om )
20 nndceq 6608 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` x ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. om ) /\ x e. suc i ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
2221ralrimiva 2581 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) )
23 finexdc 7025 . . . . . 6 |- ( ( suc i e. Fin /\ A. x e. suc iDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
252, 4, 24ifcldcd 3617 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
2725, 26fmptd 5757 . . 3 |- ( ph -> G : om --> 2o )
28 2onn 6630 . . . . 5 |- 2o e. om
2928elexi 2789 . . . 4 |- 2o e. _V
30 omex 4659 . . . 4 |- om e. _V
3129, 30elmap 6787 . . 3 |- ( G e. ( 2o ^m om ) <-> G : om --> 2o )
3227, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> G e. ( 2o ^m om ) )
33 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
3433iftrued 3586 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) = (/) )
35 suceq 4467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> suc i = suc suc j )
3635rexeqdv 2712 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) ) )
3736ifbid 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
38 peano2 4661 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. om )
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
42 peano2 4661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( suc j e. om -> suc suc j e. om )
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. om )
44 nnfi 6995 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc suc j e. om -> suc suc j e. Fin )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc suc j e. Fin )
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> F : om --> 2o )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. suc suc j )
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> suc suc j e. om )
49 elnn 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. suc suc j /\ suc suc j e. om ) -> x e. om )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> x e. om )
5146, 50ffvelcdmd 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
529, 51sselid 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> (/) e. om )
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
5554ralrimiva 2581 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
56 finexdc 7025 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc suc j e. Fin /\ A. x e. suc suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) )
5840, 41, 57ifcldcd 3617 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5696 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
60 df-suc 4436 . . . . . . . . . . . 12 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
6160rexeqi 2710 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) )
62 rexun 3361 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. ( suc j u. { suc j } ) ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) )
64 ifbi 3600 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) <-> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) ) -> if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- if ( E. x e. suc suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o )
6659, 65eqtrdi 2256 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) )
67 nnfi 6995 . . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> suc j e. Fin )
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> suc j e. Fin )
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> F : om --> 2o )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. suc j )
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> suc j e. om )
72 elnn 4672 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. suc j /\ suc j e. om ) -> x e. om )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> x e. om )
7469, 73ffvelcdmd 5739 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. 2o )
759, 74sselid 3199 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> ( F ` x ) e. om )
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> (/) e. om )
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ x e. suc j ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
7877ralrimiva 2581 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) )
79 finexdc 7025 . . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. Fin /\ A. x e. suc jDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
81 ifordc 3621 . . . . . . . . 9 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) ) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8366, 82eqtrd 2240 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
8483adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , if ( E. x e. { suc j } ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) )
85 suceq 4467 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> suc i = suc j )
8685rexeqdv 2712 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
8786ifbid 3601 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
88 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
8940, 41, 80ifcldcd 3617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5696 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9233iftrued 3586 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = (/) )
9391, 92eqtrd 2240 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = (/) )
9434, 84, 933eqtr4d 2250 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) = ( G ` j ) )
95 eqimss 3255 . . . . 5 |- ( ( G ` suc j ) = ( G ` j ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9694, 95syl 14 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
9759, 58eqeltrd 2284 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) e. 2o )
98 el2oss1o 6552 . . . . . . 7 |- ( ( G ` suc j ) e. 2o -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
9997, 98syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10099adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ 1o )
10190adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
102 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) )
103102iffalsed 3589 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = 1o )
104101, 103eqtrd 2240 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` j ) = 1o )
105100, 104sseqtrrd 3240 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
106 exmiddc 838 . . . . 5 |- (DECID E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10780, 106syl 14 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) \/ -. E. x e. suc j ( F ` x ) = (/) ) )
10896, 105, 107mpjaodan 800 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
109108ralrimiva 2581 . 2 |- ( ph -> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) )
110 fveq1 5598 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` suc j ) = ( G ` suc j ) )
111 fveq1 5598 . . . . 5 |- ( f = G -> ( f ` j ) = ( G ` j ) )
112110, 111sseq12d 3232 . . . 4 |- ( f = G -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
113112ralbidv 2508 . . 3 |- ( f = G -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
114 df-nninf 7248 . . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
115113, 114elrab2 2939 . 2 |- ( G e. ℕ∞ <-> ( G e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( G ` suc j ) C_ ( G ` j ) ) )
11632, 109, 115sylanbrc 417 1 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   ifcif 3579   {csn 3643   |-> cmpt 4121   suc csuc 4430   omcom 4656   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1oc1o 6518   2oc2o 6519   ^m cmap 6758   Fincfn 6850  ℕ∞xnninf 7247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-map 6760  df-en 6851  df-fin 6853  df-nninf 7248
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7305  nninfinfwlpolem  7306
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