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Theorem nninfwlpoimlemg 7167
Description: Lemma for nninfwlpoim 7170. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f  |-  ( ph  ->  F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g  |-  G  =  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg  |-  ( ph  ->  G  e. )
Distinct variable groups:    i, F    ph, i, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, i)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6436 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
3 1lt2o 6437 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
43a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
5 peano2 4591 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
65adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  suc  i  e. 
om )
7 nnfi 6866 . . . . . . 7  |-  ( suc  i  e.  om  ->  suc  i  e.  Fin )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  suc  i  e. 
Fin )
9 2ssom 6519 . . . . . . . . 9  |-  2o  C_  om
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : om --> 2o )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  F : om --> 2o )
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  x  e.  suc  i )
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  suc  i  e.  om )
14 elnn 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  suc  i  /\  suc  i  e.  om )  ->  x  e.  om )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  x  e.  om )
1611, 15ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  -> 
( F `  x
)  e.  2o )
179, 16sselid 3153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  -> 
( F `  x
)  e.  om )
18 peano1 4590 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
1918a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  (/) 
e.  om )
20 nndceq 6494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  -> DECID  ( F `  x
)  =  (/) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  -> DECID  ( F `  x )  =  (/) )
2221ralrimiva 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  iDECID  ( F `  x
)  =  (/) )
23 finexdc 6896 . . . . . 6  |-  ( ( suc  i  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  suc  iDECID  ( F `  x )  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) )
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) )
252, 4, 24ifcldcd 3569 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4  |-  G  =  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
2725, 26fmptd 5666 . . 3  |-  ( ph  ->  G : om --> 2o )
28 2onn 6516 . . . . 5  |-  2o  e.  om
2928elexi 2749 . . . 4  |-  2o  e.  _V
30 omex 4589 . . . 4  |-  om  e.  _V
3129, 30elmap 6671 . . 3  |-  ( G  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  G : om --> 2o )
3227, 31sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( 2o 
^m  om ) )
33 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) )
3433iftrued 3541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )  =  (/) )
35 suceq 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  suc  j  ->  suc  i  =  suc  suc  j )
3635rexeqdv 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) 
<->  E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ) )
3736ifbid 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
38 peano2 4591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e. 
om )
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
42 peano2 4591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  j  e.  om  ->  suc 
suc  j  e.  om )
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  suc  j  e.  om )
44 nnfi 6866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc 
suc  j  e.  om  ->  suc  suc  j  e.  Fin )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  suc  j  e.  Fin )
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  F : om --> 2o )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  x  e.  suc  suc  j )
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  suc  suc  j  e.  om )
49 elnn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  suc  suc  j  /\  suc  suc  j  e.  om )  ->  x  e.  om )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  x  e.  om )
5146, 50ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  ( F `  x
)  e.  2o )
529, 51sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  ( F `  x
)  e.  om )
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  -> 
(/)  e.  om )
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  -> DECID  ( F `  x )  =  (/) )
5554ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  suc  jDECID  ( F `  x )  =  (/) )
56 finexdc 6896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  suc  j  e.  Fin  /\  A. x  e. 
suc  suc  jDECID  ( F `  x
)  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
5840, 41, 57ifcldcd 3569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
60 df-suc 4368 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  j  =  ( suc  j  u.  { suc  j } )
6160rexeqi 2677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( F `
 x )  =  (/) )
62 rexun 3315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( F `
 x )  =  (/) 
<->  ( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/)  \/  E. x  e. 
{ suc  j } 
( F `  x
)  =  (/) ) )
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/)  <->  ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ) )
64 ifbi 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/)  <->  ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ) )  ->  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/)  \/  E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/)  \/  E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o )
6659, 65eqtrdi 2226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/)  \/  E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o ) )
67 nnfi 6866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  om  ->  suc  j  e.  Fin )
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e. 
Fin )
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  F : om --> 2o )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  x  e.  suc  j )
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  suc  j  e.  om )
72 elnn 4602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  suc  j  /\  suc  j  e.  om )  ->  x  e.  om )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  x  e.  om )
7469, 73ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  -> 
( F `  x
)  e.  2o )
759, 74sselid 3153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  -> 
( F `  x
)  e.  om )
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  (/) 
e.  om )
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  -> DECID  ( F `  x )  =  (/) )
7877ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  jDECID  ( F `  x
)  =  (/) )
79 finexdc 6896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  j  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  suc  jDECID  ( F `  x )  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
81 ifordc 3572 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/)  ->  if ( ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if (
( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/)  \/  E. x  e. 
{ suc  j } 
( F `  x
)  =  (/) ) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
8366, 82eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
8483adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
85 suceq 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  suc  i  =  suc  j )
8685rexeqdv 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ) )
8786ifbid 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  if ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
88 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
8940, 41, 80ifcldcd 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  j )  =  if ( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  j )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
9233iftrued 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  (/) )
9391, 92eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  j )  =  (/) )
9434, 84, 933eqtr4d 2220 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  suc  j )  =  ( G `  j ) )
95 eqimss 3209 . . . . 5  |-  ( ( G `  suc  j
)  =  ( G `
 j )  -> 
( G `  suc  j )  C_  ( G `  j )
)
9694, 95syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  suc  j ) 
C_  ( G `  j ) )
9759, 58eqeltrd 2254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  e.  2o )
98 el2oss1o 6438 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  suc  j
)  e.  2o  ->  ( G `  suc  j
)  C_  1o )
9997, 98syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  C_  1o )
10099adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  suc  j )  C_  1o )
10190adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  j
)  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
102 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  ->  -.  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
103102iffalsed 3544 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  ->  if ( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  1o )
104101, 103eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  j
)  =  1o )
105100, 104sseqtrrd 3194 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  suc  j )  C_  ( G `  j )
)
106 exmiddc 836 . . . . 5  |-  (DECID  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/)  \/  -.  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ) )
10780, 106syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) ) )
10896, 105, 107mpjaodan 798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  C_  ( G `  j ) )
109108ralrimiva 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  om  ( G `  suc  j
)  C_  ( G `  j ) )
110 fveq1 5510 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  suc  j )  =  ( G `  suc  j ) )
111 fveq1 5510 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  j )  =  ( G `  j ) )
112110, 111sseq12d 3186 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( G `  suc  j
)  C_  ( G `  j ) ) )
113112ralbidv 2477 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( G `  suc  j ) 
C_  ( G `  j ) ) )
114 df-nninf 7113 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
115113, 114elrab2 2896 . 2  |-  ( G  e.  <->  ( G  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( G `  suc  j ) 
C_  ( G `  j ) ) )
11632, 109, 115sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  G  e. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591    |-> cmpt 4061   suc csuc 4362   omcom 4586   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   2oc2o 6405    ^m cmap 6642   Fincfn 6734  ℕxnninf 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-map 6644  df-en 6735  df-fin 6737  df-nninf 7113
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7169
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