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Theorem nninfwlpoimlemg 7186
Description: Lemma for nninfwlpoim 7189. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f  |-  ( ph  ->  F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g  |-  G  =  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg  |-  ( ph  ->  G  e. )
Distinct variable groups:    i, F    ph, i, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, i)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6455 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
3 1lt2o 6456 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
43a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
5 peano2 4606 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
65adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  suc  i  e. 
om )
7 nnfi 6885 . . . . . . 7  |-  ( suc  i  e.  om  ->  suc  i  e.  Fin )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  suc  i  e. 
Fin )
9 2ssom 6538 . . . . . . . . 9  |-  2o  C_  om
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : om --> 2o )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  F : om --> 2o )
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  x  e.  suc  i )
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  suc  i  e.  om )
14 elnn 4617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  suc  i  /\  suc  i  e.  om )  ->  x  e.  om )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  x  e.  om )
1611, 15ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  -> 
( F `  x
)  e.  2o )
179, 16sselid 3165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  -> 
( F `  x
)  e.  om )
18 peano1 4605 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
1918a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  ->  (/) 
e.  om )
20 nndceq 6513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  -> DECID  ( F `  x
)  =  (/) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  om )  /\  x  e.  suc  i )  -> DECID  ( F `  x )  =  (/) )
2221ralrimiva 2560 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  iDECID  ( F `  x
)  =  (/) )
23 finexdc 6915 . . . . . 6  |-  ( ( suc  i  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  suc  iDECID  ( F `  x )  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) )
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) )
252, 4, 24ifcldcd 3582 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4  |-  G  =  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
2725, 26fmptd 5683 . . 3  |-  ( ph  ->  G : om --> 2o )
28 2onn 6535 . . . . 5  |-  2o  e.  om
2928elexi 2761 . . . 4  |-  2o  e.  _V
30 omex 4604 . . . 4  |-  om  e.  _V
3129, 30elmap 6690 . . 3  |-  ( G  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  G : om --> 2o )
3227, 31sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( 2o 
^m  om ) )
33 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) )
3433iftrued 3553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )  =  (/) )
35 suceq 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  suc  j  ->  suc  i  =  suc  suc  j )
3635rexeqdv 2690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) 
<->  E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ) )
3736ifbid 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
38 peano2 4606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e. 
om )
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
42 peano2 4606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  j  e.  om  ->  suc 
suc  j  e.  om )
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  suc  j  e.  om )
44 nnfi 6885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc 
suc  j  e.  om  ->  suc  suc  j  e.  Fin )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  suc  j  e.  Fin )
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  F : om --> 2o )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  x  e.  suc  suc  j )
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  suc  suc  j  e.  om )
49 elnn 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  suc  suc  j  /\  suc  suc  j  e.  om )  ->  x  e.  om )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  x  e.  om )
5146, 50ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  ( F `  x
)  e.  2o )
529, 51sselid 3165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  ->  ( F `  x
)  e.  om )
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  -> 
(/)  e.  om )
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  suc  j )  -> DECID  ( F `  x )  =  (/) )
5554ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  suc  jDECID  ( F `  x )  =  (/) )
56 finexdc 6915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  suc  j  e.  Fin  /\  A. x  e. 
suc  suc  jDECID  ( F `  x
)  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
5840, 41, 57ifcldcd 3582 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
60 df-suc 4383 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  j  =  ( suc  j  u.  { suc  j } )
6160rexeqi 2688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( F `
 x )  =  (/) )
62 rexun 3327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( F `
 x )  =  (/) 
<->  ( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/)  \/  E. x  e. 
{ suc  j } 
( F `  x
)  =  (/) ) )
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/)  <->  ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ) )
64 ifbi 3566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/)  <->  ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ) )  ->  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/)  \/  E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  if ( E. x  e.  suc  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/)  \/  E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o )
6659, 65eqtrdi 2236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/)  \/  E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o ) )
67 nnfi 6885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  om  ->  suc  j  e.  Fin )
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e. 
Fin )
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  F : om --> 2o )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  x  e.  suc  j )
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  suc  j  e.  om )
72 elnn 4617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  suc  j  /\  suc  j  e.  om )  ->  x  e.  om )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  x  e.  om )
7469, 73ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  -> 
( F `  x
)  e.  2o )
759, 74sselid 3165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  -> 
( F `  x
)  e.  om )
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  ->  (/) 
e.  om )
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  x  e.  suc  j )  -> DECID  ( F `  x )  =  (/) )
7877ralrimiva 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  jDECID  ( F `  x
)  =  (/) )
79 finexdc 6915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  j  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  suc  jDECID  ( F `  x )  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
81 ifordc 3585 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/)  ->  if ( ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if (
( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/)  \/  E. x  e. 
{ suc  j } 
( F `  x
)  =  (/) ) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
8366, 82eqtrd 2220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
8483adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  suc  j )  =  if ( E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  if ( E. x  e.  { suc  j }  ( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  1o ) ) )
85 suceq 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  suc  i  =  suc  j )
8685rexeqdv 2690 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ) )
8786ifbid 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  if ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
88 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
8940, 41, 80ifcldcd 3582 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  j )  =  if ( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  j )  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
9233iftrued 3553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  (/) )
9391, 92eqtrd 2220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  j )  =  (/) )
9434, 84, 933eqtr4d 2230 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  suc  j )  =  ( G `  j ) )
95 eqimss 3221 . . . . 5  |-  ( ( G `  suc  j
)  =  ( G `
 j )  -> 
( G `  suc  j )  C_  ( G `  j )
)
9694, 95syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )  ->  ( G `  suc  j ) 
C_  ( G `  j ) )
9759, 58eqeltrd 2264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  e.  2o )
98 el2oss1o 6457 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  suc  j
)  e.  2o  ->  ( G `  suc  j
)  C_  1o )
9997, 98syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  C_  1o )
10099adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  suc  j )  C_  1o )
10190adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  j
)  =  if ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
102 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  ->  -.  E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/) )
103102iffalsed 3556 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  ->  if ( E. x  e. 
suc  j ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  1o )
104101, 103eqtrd 2220 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  j
)  =  1o )
105100, 104sseqtrrd 3206 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  om )  /\  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  suc  j )  C_  ( G `  j )
)
106 exmiddc 837 . . . . 5  |-  (DECID  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/)  \/  -.  E. x  e.  suc  j ( F `
 x )  =  (/) ) )
10780, 106syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( E. x  e.  suc  j ( F `  x )  =  (/)  \/  -.  E. x  e.  suc  j
( F `  x
)  =  (/) ) )
10896, 105, 107mpjaodan 799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( G `  suc  j )  C_  ( G `  j ) )
109108ralrimiva 2560 . 2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  om  ( G `  suc  j
)  C_  ( G `  j ) )
110 fveq1 5526 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  suc  j )  =  ( G `  suc  j ) )
111 fveq1 5526 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  j )  =  ( G `  j ) )
112110, 111sseq12d 3198 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( G `  suc  j
)  C_  ( G `  j ) ) )
113112ralbidv 2487 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( G `  suc  j ) 
C_  ( G `  j ) ) )
114 df-nninf 7132 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
115113, 114elrab2 2908 . 2  |-  ( G  e.  <->  ( G  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( G `  suc  j ) 
C_  ( G `  j ) ) )
11632, 109, 115sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  G  e. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466    u. cun 3139    C_ wss 3141   (/)c0 3434   ifcif 3546   {csn 3604    |-> cmpt 4076   suc csuc 4377   omcom 4601   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1oc1o 6423   2oc2o 6424    ^m cmap 6661   Fincfn 6753  ℕxnninf 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1o 6430  df-2o 6431  df-er 6548  df-map 6663  df-en 6754  df-fin 6756  df-nninf 7132
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7188
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