Theorem rnpropg 4910

Description: The range of a pair of ordered pairs is the pair of second members. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rnpropg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Proof of Theorem rnpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3453	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	rneqi 4663	. 2 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
3		rnsnopg 4909	. . . . 5 |- ( A e. V -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 4909	. . . . 5 |- ( B e. W -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	4, 6	uneq12d 3155	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
8		rnun 4840	. . 3 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
9		df-pr 3453	. . 3 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2145	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = { C , D } )
11	2, 10	syl5eq 2132	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   u. cun 2997   {csn 3446   {cpr 3447   <.cop 3449   ran crn 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449

This theorem is referenced by: (None)