Theorem rnpropg 5223

Description: The range of a pair of ordered pairs is the pair of second members. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rnpropg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Proof of Theorem rnpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3680	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	rneqi 4966	. 2 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
3		rnsnopg 5222	. . . . 5 |- ( A e. V -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5222	. . . . 5 |- ( B e. W -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	4, 6	uneq12d 3364	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
8		rnun 5152	. . 3 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
9		df-pr 3680	. . 3 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2289	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = { C , D } )
11	2, 10	eqtrid 2276	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   u. cun 3199   {csn 3673   {cpr 3674   <.cop 3676   ran crn 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742

This theorem is referenced by: (None)