Theorem rnpropg 5149

Description: The range of a pair of ordered pairs is the pair of second members. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rnpropg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Proof of Theorem rnpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3629	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	rneqi 4894	. 2 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
3		rnsnopg 5148	. . . . 5 |- ( A e. V -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5148	. . . . 5 |- ( B e. W -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	4, 6	uneq12d 3318	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
8		rnun 5078	. . 3 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
9		df-pr 3629	. . 3 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2254	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = { C , D } )
11	2, 10	eqtrid 2241	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   ran crn 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674

This theorem is referenced by: (None)