Theorem rnsnopg 5241

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnopg	|- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Proof of Theorem rnsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4760	. . 3 |- ran { <. A , B >. } = dom `' { <. A , B >. }
2		dfdm4 4948	. . . 4 |- dom { <. B , A >. } = ran `' { <. B , A >. }
3		df-rn 4760	. . . 4 |- ran `' { <. B , A >. } = dom `' `' { <. B , A >. }
4		cnvcnvsn 5239	. . . . 5 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
5	4	dmeqi 4957	. . . 4 |- dom `' `' { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
6	2, 3, 5	3eqtri 2257	. . 3 |- dom { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
7	1, 6	eqtr4i 2256	. 2 |- ran { <. A , B >. } = dom { <. B , A >. }
8		dmsnopg 5234	. 2 |- ( A e. V -> dom { <. B , A >. } = { B } )
9	7, 8	eqtrid 2277	1 |- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   <.cop 3692   `'ccnv 4748   dom cdm 4749   ran crn 4750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760

This theorem is referenced by:  rnpropg  5242  rnsnop  5243  fprg  5867  usgr1e  16236  1loopgredg  16299