Theorem rnsnopg 5012

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnopg	|- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Proof of Theorem rnsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4545	. . 3 |- ran { <. A , B >. } = dom `' { <. A , B >. }
2		dfdm4 4726	. . . 4 |- dom { <. B , A >. } = ran `' { <. B , A >. }
3		df-rn 4545	. . . 4 |- ran `' { <. B , A >. } = dom `' `' { <. B , A >. }
4		cnvcnvsn 5010	. . . . 5 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
5	4	dmeqi 4735	. . . 4 |- dom `' `' { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
6	2, 3, 5	3eqtri 2162	. . 3 |- dom { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
7	1, 6	eqtr4i 2161	. 2 |- ran { <. A , B >. } = dom { <. B , A >. }
8		dmsnopg 5005	. 2 |- ( A e. V -> dom { <. B , A >. } = { B } )
9	7, 8	syl5eq 2182	1 |- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3522   <.cop 3525   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   ran crn 4535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545

This theorem is referenced by:  rnpropg  5013  rnsnop  5014  fprg  5596