Theorem rnsnopg 5144

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnopg	|- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Proof of Theorem rnsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4670	. . 3 |- ran { <. A , B >. } = dom `' { <. A , B >. }
2		dfdm4 4854	. . . 4 |- dom { <. B , A >. } = ran `' { <. B , A >. }
3		df-rn 4670	. . . 4 |- ran `' { <. B , A >. } = dom `' `' { <. B , A >. }
4		cnvcnvsn 5142	. . . . 5 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
5	4	dmeqi 4863	. . . 4 |- dom `' `' { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
6	2, 3, 5	3eqtri 2218	. . 3 |- dom { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
7	1, 6	eqtr4i 2217	. 2 |- ran { <. A , B >. } = dom { <. B , A >. }
8		dmsnopg 5137	. 2 |- ( A e. V -> dom { <. B , A >. } = { B } )
9	7, 8	eqtrid 2238	1 |- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3618   <.cop 3621   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   ran crn 4660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670

This theorem is referenced by:  rnpropg  5145  rnsnop  5146  fprg  5741