Theorem rnsnopg 5266

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnopg	|- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Proof of Theorem rnsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4785	. . 3 |- ran { <. A , B >. } = dom `' { <. A , B >. }
2		dfdm4 4973	. . . 4 |- dom { <. B , A >. } = ran `' { <. B , A >. }
3		df-rn 4785	. . . 4 |- ran `' { <. B , A >. } = dom `' `' { <. B , A >. }
4		cnvcnvsn 5264	. . . . 5 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
5	4	dmeqi 4982	. . . 4 |- dom `' `' { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
6	2, 3, 5	3eqtri 2263	. . 3 |- dom { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
7	1, 6	eqtr4i 2262	. 2 |- ran { <. A , B >. } = dom { <. B , A >. }
8		dmsnopg 5259	. 2 |- ( A e. V -> dom { <. B , A >. } = { B } )
9	7, 8	eqtrid 2283	1 |- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   ran crn 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785

This theorem is used by:  rnpropg  5267  rnsnop  5268  fprg  5898  usgr1e  16482  1loopgredg  16545