Theorem rnsnopg 5063

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnopg	|- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Proof of Theorem rnsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4596	. . 3 |- ran { <. A , B >. } = dom `' { <. A , B >. }
2		dfdm4 4777	. . . 4 |- dom { <. B , A >. } = ran `' { <. B , A >. }
3		df-rn 4596	. . . 4 |- ran `' { <. B , A >. } = dom `' `' { <. B , A >. }
4		cnvcnvsn 5061	. . . . 5 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
5	4	dmeqi 4786	. . . 4 |- dom `' `' { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
6	2, 3, 5	3eqtri 2182	. . 3 |- dom { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
7	1, 6	eqtr4i 2181	. 2 |- ran { <. A , B >. } = dom { <. B , A >. }
8		dmsnopg 5056	. 2 |- ( A e. V -> dom { <. B , A >. } = { B } )
9	7, 8	syl5eq 2202	1 |- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   {csn 3560   <.cop 3563   `'ccnv 4584   dom cdm 4585   ran crn 4586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-dm 4595  df-rn 4596

This theorem is referenced by:  rnpropg  5064  rnsnop  5065  fprg  5649