Theorem rdgivallem 6590

Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 6591 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rdgivallem	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgivallem

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6579	. . . 4 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 6584	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1922	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri2d 6545	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
5	4	3impa 1221	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
6		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
7		dmeq 4937	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> dom g = dom ( rec ( F , A ) |` B ) )
8		onss 4597	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> B C_ On )
9	8	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ On )
10		rdgifnon 6588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )
11		fndm 5436	. . . . . . . . . 10 |- ( rec ( F , A ) Fn On -> dom rec ( F , A ) = On )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> dom rec ( F , A ) = On )
13	12	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom rec ( F , A ) = On )
14	9, 13	sseqtrrd 3267	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ dom rec ( F , A ) )
15		ssdmres 5041	. . . . . . 7 |- ( B C_ dom rec ( F , A ) <-> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
17	7, 16	sylan9eqr 2286	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> dom g = B )
18		fveq1 5647	. . . . . . 7 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( g ` x ) = ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) )
19	18	fveq2d 5652	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
21	17, 20	iuneq12d 3999	. . . 4 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3363	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
23		rdgfun 6582	. . . . 5 |- Fun rec ( F , A )
24		resfunexg 5883	. . . . 5 |- ( ( Fun rec ( F , A ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
25	23, 24	mpan 424	. . . 4 |- ( B e. On -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
26	25	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
27		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> B e. On )
28		vex 2806	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		fvexg 5667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
30	25, 28, 29	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
31	30	ralrimivw 2607	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
33		funfvex 5665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
34	33	funfni 5439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
35	34	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
36	35	ralimdv 2601	. . . . . . . 8 |- ( F Fn _V -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
38	32, 37	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
39		iunexg 6290	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
40	27, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
41	40	3adant2 1043	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
42		unexg 4546	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
43	42	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
44	43	3ad2ant2 1046	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
45	41, 44	mpd 13	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
46	6, 22, 26, 45	fvmptd 5736	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
47	5, 46	eqtrd 2264	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   U_ciun 3975   |-> cmpt 4155   Oncon0 4466   dom cdm 4731   |` cres 4733   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   reccrdg 6578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-recs 6514  df-irdg 6579

This theorem is referenced by:  rdgival  6591