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Theorem rdgivallem 6372
Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 6373 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rdgivallem  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, V

Proof of Theorem rdgivallem
Dummy variables  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6361 . . . 4  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 rdgruledefgg 6366 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  y )  e.  _V ) )
32alrimiv 1872 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  A. y ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  y )  e.  _V ) )
41, 3tfri2d 6327 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) ) )
543impa 1194 . 2  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) ) )
6 eqidd 2176 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
7 dmeq 4820 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  ->  dom  g  =  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )
8 onss 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
983ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  On )
10 rdgifnon 6370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
11 fndm 5307 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( F ,  A
)  Fn  On  ->  dom 
rec ( F ,  A )  =  On )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  dom  rec ( F ,  A )  =  On )
13123adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  dom  rec ( F ,  A )  =  On )
149, 13sseqtrrd 3192 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  dom  rec ( F ,  A )
)
15 ssdmres 4922 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  =  B )
1614, 15sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  =  B )
177, 16sylan9eqr 2230 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  dom  g  =  B )
18 fveq1 5506 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  ->  (
g `  x )  =  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) )
1918fveq2d 5511 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  ->  ( F `  ( g `  x ) )  =  ( F `  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) )
2019adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  =  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) ) )
2117, 20iuneq12d 3906 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  =  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )
2221uneq2d 3287 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
23 rdgfun 6364 . . . . 5  |-  Fun  rec ( F ,  A )
24 resfunexg 5729 . . . . 5  |-  ( ( Fun  rec ( F ,  A )  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  e.  _V )
2523, 24mpan 424 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( rec ( F ,  A
)  |`  B )  e. 
_V )
26253ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  e.  _V )
27 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  B  e.  On )
28 vex 2738 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
29 fvexg 5526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( F ,  A )  |`  B )  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )
3025, 28, 29sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )
3130ralrimivw 2549 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x )  e.  _V )
3231adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )
33 funfvex 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  dom  F
)  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  e.  _V )
3433funfni 5308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )  ->  ( F `  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  e.  _V )
3534ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  _V  ->  (
( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V ) )
3635ralimdv 2543 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  _V  ->  ( A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V  ->  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V ) )
3736adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x )  e.  _V  ->  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V ) )
3832, 37mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
39 iunexg 6110 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
4027, 38, 39syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
41403adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
42 unexg 4437 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )  -> 
( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )  e.  _V )
4342ex 115 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) )  e. 
_V ) )
44433ad2ant2 1019 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  e.  _V  ->  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )  e.  _V ) )
4541, 44mpd 13 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )  e.  _V )
466, 22, 26, 45fvmptd 5589 . 2  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  ( rec ( F ,  A )  |`  B ) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
475, 46eqtrd 2208 1  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735    u. cun 3125    C_ wss 3127   U_ciun 3882    |-> cmpt 4059   Oncon0 4357   dom cdm 4620    |` cres 4622   Fun wfun 5202    Fn wfn 5203   ` cfv 5208   reccrdg 6360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-recs 6296  df-irdg 6361
This theorem is referenced by:  rdgival  6373
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