Theorem rdgivallem 6652

Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 6653 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rdgivallem	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgivallem

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6641	. . . 4 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 6646	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1927	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri2d 6607	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
5	4	3impa 1225	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
6		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
7		dmeq 4981	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> dom g = dom ( rec ( F , A ) |` B ) )
8		onss 4640	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> B C_ On )
9	8	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ On )
10		rdgifnon 6650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )
11		fndm 5480	. . . . . . . . . 10 |- ( rec ( F , A ) Fn On -> dom rec ( F , A ) = On )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> dom rec ( F , A ) = On )
13	12	3adant3 1048	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom rec ( F , A ) = On )
14	9, 13	sseqtrrd 3287	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ dom rec ( F , A ) )
15		ssdmres 5085	. . . . . . 7 |- ( B C_ dom rec ( F , A ) <-> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
17	7, 16	sylan9eqr 2293	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> dom g = B )
18		fveq1 5694	. . . . . . 7 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( g ` x ) = ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) )
19	18	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
21	17, 20	iuneq12d 4036	. . . 4 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3383	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
23		rdgfun 6644	. . . . 5 |- Fun rec ( F , A )
24		resfunexg 5936	. . . . 5 |- ( ( Fun rec ( F , A ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
25	23, 24	mpan 428	. . . 4 |- ( B e. On -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
26	25	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
27		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> B e. On )
28		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		fvexg 5714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
30	25, 28, 29	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
31	30	ralrimivw 2624	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
33		funfvex 5712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
34	33	funfni 5483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
35	34	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
36	35	ralimdv 2618	. . . . . . . 8 |- ( F Fn _V -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
38	32, 37	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
39		iunexg 6348	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
40	27, 38, 39	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
41	40	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
42		unexg 4589	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
43	42	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
44	43	3ad2ant2 1050	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
45	41, 44	mpd 13	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
46	6, 22, 26, 45	fvmptd 5786	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
47	5, 46	eqtrd 2271	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   U_ciun 4012   |-> cmpt 4192   Oncon0 4508   dom cdm 4774   |` cres 4776   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   reccrdg 6640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-recs 6576  df-irdg 6641

This theorem is used by:  rdgival  6653