Theorem rdgivallem 6328

Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 6329 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rdgivallem	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgivallem

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6317	. . . 4 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 6322	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1854	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri2d 6283	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
5	4	3impa 1177	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
6		eqidd 2158	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
7		dmeq 4786	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> dom g = dom ( rec ( F , A ) |` B ) )
8		onss 4452	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> B C_ On )
9	8	3ad2ant3 1005	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ On )
10		rdgifnon 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )
11		fndm 5269	. . . . . . . . . 10 |- ( rec ( F , A ) Fn On -> dom rec ( F , A ) = On )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> dom rec ( F , A ) = On )
13	12	3adant3 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom rec ( F , A ) = On )
14	9, 13	sseqtrrd 3167	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ dom rec ( F , A ) )
15		ssdmres 4888	. . . . . . 7 |- ( B C_ dom rec ( F , A ) <-> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
16	14, 15	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
17	7, 16	sylan9eqr 2212	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> dom g = B )
18		fveq1 5467	. . . . . . 7 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( g ` x ) = ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) )
19	18	fveq2d 5472	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
20	19	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
21	17, 20	iuneq12d 3873	. . . 4 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3261	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
23		rdgfun 6320	. . . . 5 |- Fun rec ( F , A )
24		resfunexg 5688	. . . . 5 |- ( ( Fun rec ( F , A ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
25	23, 24	mpan 421	. . . 4 |- ( B e. On -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
26	25	3ad2ant3 1005	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
27		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> B e. On )
28		vex 2715	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		fvexg 5487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
30	25, 28, 29	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
31	30	ralrimivw 2531	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
32	31	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
33		funfvex 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
34	33	funfni 5270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
35	34	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
36	35	ralimdv 2525	. . . . . . . 8 |- ( F Fn _V -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
37	36	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
38	32, 37	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
39		iunexg 6067	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
40	27, 38, 39	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
41	40	3adant2 1001	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
42		unexg 4403	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
43	42	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
44	43	3ad2ant2 1004	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
45	41, 44	mpd 13	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
46	6, 22, 26, 45	fvmptd 5549	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
47	5, 46	eqtrd 2190	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   u. cun 3100   C_ wss 3102   U_ciun 3849   |-> cmpt 4025   Oncon0 4323   dom cdm 4586   |` cres 4588   Fun wfun 5164   Fn wfn 5165   ` cfv 5170   reccrdg 6316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-recs 6252  df-irdg 6317

This theorem is referenced by:  rdgival  6329