Theorem rdgivallem 6542

Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 6543 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rdgivallem	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgivallem

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6531	. . . 4 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 6536	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1920	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri2d 6497	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
5	4	3impa 1218	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
6		eqidd 2230	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
7		dmeq 4929	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> dom g = dom ( rec ( F , A ) |` B ) )
8		onss 4589	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> B C_ On )
9	8	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ On )
10		rdgifnon 6540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )
11		fndm 5426	. . . . . . . . . 10 |- ( rec ( F , A ) Fn On -> dom rec ( F , A ) = On )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> dom rec ( F , A ) = On )
13	12	3adant3 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom rec ( F , A ) = On )
14	9, 13	sseqtrrd 3264	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ dom rec ( F , A ) )
15		ssdmres 5033	. . . . . . 7 |- ( B C_ dom rec ( F , A ) <-> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
17	7, 16	sylan9eqr 2284	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> dom g = B )
18		fveq1 5634	. . . . . . 7 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( g ` x ) = ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) )
19	18	fveq2d 5639	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
21	17, 20	iuneq12d 3992	. . . 4 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3359	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
23		rdgfun 6534	. . . . 5 |- Fun rec ( F , A )
24		resfunexg 5870	. . . . 5 |- ( ( Fun rec ( F , A ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
25	23, 24	mpan 424	. . . 4 |- ( B e. On -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
26	25	3ad2ant3 1044	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
27		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> B e. On )
28		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		fvexg 5654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
30	25, 28, 29	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
31	30	ralrimivw 2604	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
33		funfvex 5652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
34	33	funfni 5429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
35	34	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
36	35	ralimdv 2598	. . . . . . . 8 |- ( F Fn _V -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
38	32, 37	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
39		iunexg 6276	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
40	27, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
41	40	3adant2 1040	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
42		unexg 4538	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
43	42	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
44	43	3ad2ant2 1043	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
45	41, 44	mpd 13	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
46	6, 22, 26, 45	fvmptd 5723	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
47	5, 46	eqtrd 2262	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   u. cun 3196   C_ wss 3198   U_ciun 3968   |-> cmpt 4148   Oncon0 4458   dom cdm 4723   |` cres 4725   Fun wfun 5318   Fn wfn 5319   ` cfv 5324   reccrdg 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-recs 6466  df-irdg 6531

This theorem is referenced by:  rdgival  6543