ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmres Unicode version

Theorem dmres 4840
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2689 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4737 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 1874 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2689 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 4824 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1584 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 4737 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 211 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 184 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
1110ineqri 3269 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  ( A  |`  B )
12 incom 3268 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2162 1  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480    i^i cin 3070   <.cop 3530   dom cdm 4539    |` cres 4541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-dm 4549  df-res 4551
This theorem is referenced by:  ssdmres  4841  dmresexg  4842  imadisj  4901  ndmima  4916  imainrect  4984  dmresv  4997  resdmres  5030  funimacnv  5199  fnresdisj  5233  fnres  5239  ssimaex  5482  fnreseql  5530  respreima  5548  ffvresb  5583  fsnunfv  5621  funfvima  5649  offres  6033  smores  6189  smores3  6190  smores2  6191  fnfi  6825  sbthlemi5  6849  sbthlem7  6851  dmaddpi  7145  dmmulpi  7146  fvsetsid  12007  setsfun  12008  setsfun0  12009  setsresg  12011  lmres  12431  metreslem  12563
  Copyright terms: Public domain W3C validator