Theorem dmres 4930

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Proof of Theorem dmres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2742	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4827	. . . 4 |- ( x e. dom ( A |` B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) )
3		19.41v 1902	. . . . 5 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
4		vex 2742	. . . . . . 7 |- y e. _V
5	4	opelres 4914	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
6	5	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
7	1	eldm2 4827	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
9	3, 6, 8	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. B ) )
10	2, 9	bitr2i 185	. . 3 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> x e. dom ( A |` B ) )
11	10	ineqri 3330	. 2 |- ( dom A i^i B ) = dom ( A |` B )
12		incom 3329	. 2 |- ( dom A i^i B ) = ( B i^i dom A )
13	11, 12	eqtr3i 2200	1 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   i^i cin 3130   <.cop 3597   dom cdm 4628   |` cres 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-dm 4638  df-res 4640

This theorem is referenced by:  ssdmres  4931  dmresexg  4932  imadisj  4992  ndmima  5007  imainrect  5076  dmresv  5089  resdmres  5122  funimacnv  5294  fnresdisj  5328  fnres  5334  ssimaex  5579  fnreseql  5628  respreima  5646  ffvresb  5681  fsnunfv  5719  funfvima  5750  offres  6138  smores  6295  smores3  6296  smores2  6297  fnfi  6938  sbthlemi5  6962  sbthlem7  6964  dmaddpi  7326  dmmulpi  7327  fvsetsid  12498  setsfun  12499  setsfun0  12500  setsresg  12502  lmres  13833  metreslem  13965