Theorem dmres 4999

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Proof of Theorem dmres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2779	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4895	. . . 4 |- ( x e. dom ( A |` B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) )
3		19.41v 1927	. . . . 5 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
4		vex 2779	. . . . . . 7 |- y e. _V
5	4	opelres 4983	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
6	5	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
7	1	eldm2 4895	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
9	3, 6, 8	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. B ) )
10	2, 9	bitr2i 185	. . 3 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> x e. dom ( A |` B ) )
11	10	ineqri 3374	. 2 |- ( dom A i^i B ) = dom ( A |` B )
12		incom 3373	. 2 |- ( dom A i^i B ) = ( B i^i dom A )
13	11, 12	eqtr3i 2230	1 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   i^i cin 3173   <.cop 3646   dom cdm 4693   |` cres 4695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-dm 4703  df-res 4705

This theorem is referenced by:  ssdmres  5000  dmresexg  5001  imadisj  5063  ndmima  5078  imainrect  5147  dmresv  5160  resdmres  5193  funimacnv  5369  fnresdisj  5405  fnres  5412  ssimaex  5663  fnreseql  5713  respreima  5731  ffvresb  5766  fsnunfv  5808  funfvima  5839  offres  6243  smores  6401  smores3  6402  smores2  6403  fnfi  7064  sbthlemi5  7089  sbthlem7  7091  dmaddpi  7473  dmmulpi  7474  fvsetsid  12981  setsfun  12982  setsfun0  12983  setsresg  12985  lmres  14835  metreslem  14967