ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmres Unicode version

Theorem dmres 4946
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4843 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 1914 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2755 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 4930 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1616 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 4843 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 458 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 212 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 185 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
1110ineqri 3343 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  ( A  |`  B )
12 incom 3342 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2212 1  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160    i^i cin 3143   <.cop 3610   dom cdm 4644    |` cres 4646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-dm 4654  df-res 4656
This theorem is referenced by:  ssdmres  4947  dmresexg  4948  imadisj  5008  ndmima  5023  imainrect  5092  dmresv  5105  resdmres  5138  funimacnv  5311  fnresdisj  5345  fnres  5351  ssimaex  5598  fnreseql  5647  respreima  5665  ffvresb  5700  fsnunfv  5738  funfvima  5769  offres  6161  smores  6318  smores3  6319  smores2  6320  fnfi  6967  sbthlemi5  6991  sbthlem7  6993  dmaddpi  7355  dmmulpi  7356  fvsetsid  12549  setsfun  12550  setsfun0  12551  setsresg  12553  lmres  14225  metreslem  14357
  Copyright terms: Public domain W3C validator