Theorem dmres 4734

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Proof of Theorem dmres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2622	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4634	. . . 4 |- ( x e. dom ( A |` B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) )
3		19.41v 1830	. . . . 5 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
4		vex 2622	. . . . . . 7 |- y e. _V
5	4	opelres 4718	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
6	5	exbii 1541	. . . . 5 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
7	1	eldm2 4634	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	7	anbi1i 446	. . . . 5 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
9	3, 6, 8	3bitr4i 210	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. B ) )
10	2, 9	bitr2i 183	. . 3 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> x e. dom ( A |` B ) )
11	10	ineqri 3193	. 2 |- ( dom A i^i B ) = dom ( A |` B )
12		incom 3192	. 2 |- ( dom A i^i B ) = ( B i^i dom A )
13	11, 12	eqtr3i 2110	1 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   i^i cin 2998   <.cop 3449   dom cdm 4438   |` cres 4440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-dm 4448  df-res 4450

This theorem is referenced by:  ssdmres  4735  dmresexg  4736  imadisj  4794  ndmima  4809  imainrect  4876  dmresv  4889  resdmres  4922  funimacnv  5090  fnresdisj  5124  fnres  5130  ssimaex  5365  fnreseql  5409  respreima  5427  ffvresb  5461  fsnunfv  5498  funfvima  5526  offres  5906  smores  6057  smores3  6058  smores2  6059  fnfi  6646  sbthlemi5  6670  sbthlem7  6672  dmaddpi  6884  dmmulpi  6885  fvsetsid  11528  setsfun  11529  setsfun0  11530  setsresg  11532