Theorem dmres 4848

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Proof of Theorem dmres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4745	. . . 4 |- ( x e. dom ( A |` B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) )
3		19.41v 1875	. . . . 5 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
4		vex 2692	. . . . . . 7 |- y e. _V
5	4	opelres 4832	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
6	5	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
7	1	eldm2 4745	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	7	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
9	3, 6, 8	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. B ) )
10	2, 9	bitr2i 184	. . 3 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> x e. dom ( A |` B ) )
11	10	ineqri 3274	. 2 |- ( dom A i^i B ) = dom ( A |` B )
12		incom 3273	. 2 |- ( dom A i^i B ) = ( B i^i dom A )
13	11, 12	eqtr3i 2163	1 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   i^i cin 3075   <.cop 3535   dom cdm 4547   |` cres 4549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-dm 4557  df-res 4559

This theorem is referenced by:  ssdmres  4849  dmresexg  4850  imadisj  4909  ndmima  4924  imainrect  4992  dmresv  5005  resdmres  5038  funimacnv  5207  fnresdisj  5241  fnres  5247  ssimaex  5490  fnreseql  5538  respreima  5556  ffvresb  5591  fsnunfv  5629  funfvima  5657  offres  6041  smores  6197  smores3  6198  smores2  6199  fnfi  6833  sbthlemi5  6857  sbthlem7  6859  dmaddpi  7157  dmmulpi  7158  fvsetsid  12032  setsfun  12033  setsfun0  12034  setsresg  12036  lmres  12456  metreslem  12588