Theorem ssorduni 4304

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- ( A C_ On -> Ord U. A )

Proof of Theorem ssorduni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3657	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
2		ssel 3019	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> y e. On ) )
3		onelss 4214	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x C_ y ) )
4	2, 3	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ y ) ) )
5		anc2r 321	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ y ) ) -> ( y e. A -> ( x e. y -> ( x C_ y /\ y e. A ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> ( x C_ y /\ y e. A ) ) ) )
7		ssuni 3675	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ y /\ y e. A ) -> x C_ U. A )
8	6, 7	syl8 70	. . . . . 6 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ U. A ) ) )
9	8	rexlimdv 2488	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( E. y e. A x e. y -> x C_ U. A ) )
10	1, 9	syl5bi 150	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( x e. U. A -> x C_ U. A ) )
11	10	ralrimiv 2445	. . 3 |- ( A C_ On -> A. x e. U. A x C_ U. A )
12		dftr3 3940	. . 3 |- ( Tr U. A <-> A. x e. U. A x C_ U. A )
13	11, 12	sylibr 132	. 2 |- ( A C_ On -> Tr U. A )
14		onelon 4211	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ x e. y ) -> x e. On )
15	14	ex 113	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x e. On ) )
16	2, 15	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x e. On ) ) )
17	16	rexlimdv 2488	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( E. y e. A x e. y -> x e. On ) )
18	1, 17	syl5bi 150	. . 3 |- ( A C_ On -> ( x e. U. A -> x e. On ) )
19	18	ssrdv 3031	. 2 |- ( A C_ On -> U. A C_ On )
20		ordon 4303	. . 3 |- Ord On
21		trssord 4207	. . . 4 |- ( ( Tr U. A /\ U. A C_ On /\ Ord On ) -> Ord U. A )
22	21	3exp 1142	. . 3 |- ( Tr U. A -> ( U. A C_ On -> ( Ord On -> Ord U. A ) ) )
23	20, 22	mpii 43	. 2 |- ( Tr U. A -> ( U. A C_ On -> Ord U. A ) )
24	13, 19, 23	sylc 61	1 |- ( A C_ On -> Ord U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   C_ wss 2999   U.cuni 3653   Tr wtr 3936   Ord word 4189   Oncon0 4190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-uni 3654  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195

This theorem is referenced by:  ssonuni  4305  orduni  4312  tfrlem8  6083  tfrexlem  6099