Theorem ssorduni 4484

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- ( A C_ On -> Ord U. A )

Proof of Theorem ssorduni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3812	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
2		ssel 3149	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> y e. On ) )
3		onelss 4385	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x C_ y ) )
4	2, 3	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ y ) ) )
5		anc2r 328	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ y ) ) -> ( y e. A -> ( x e. y -> ( x C_ y /\ y e. A ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> ( x C_ y /\ y e. A ) ) ) )
7		ssuni 3830	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ y /\ y e. A ) -> x C_ U. A )
8	6, 7	syl8 71	. . . . . 6 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ U. A ) ) )
9	8	rexlimdv 2593	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( E. y e. A x e. y -> x C_ U. A ) )
10	1, 9	biimtrid 152	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( x e. U. A -> x C_ U. A ) )
11	10	ralrimiv 2549	. . 3 |- ( A C_ On -> A. x e. U. A x C_ U. A )
12		dftr3 4103	. . 3 |- ( Tr U. A <-> A. x e. U. A x C_ U. A )
13	11, 12	sylibr 134	. 2 |- ( A C_ On -> Tr U. A )
14		onelon 4382	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ x e. y ) -> x e. On )
15	14	ex 115	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x e. On ) )
16	2, 15	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x e. On ) ) )
17	16	rexlimdv 2593	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( E. y e. A x e. y -> x e. On ) )
18	1, 17	biimtrid 152	. . 3 |- ( A C_ On -> ( x e. U. A -> x e. On ) )
19	18	ssrdv 3161	. 2 |- ( A C_ On -> U. A C_ On )
20		ordon 4483	. . 3 |- Ord On
21		trssord 4378	. . . 4 |- ( ( Tr U. A /\ U. A C_ On /\ Ord On ) -> Ord U. A )
22	21	3exp 1202	. . 3 |- ( Tr U. A -> ( U. A C_ On -> ( Ord On -> Ord U. A ) ) )
23	20, 22	mpii 44	. 2 |- ( Tr U. A -> ( U. A C_ On -> Ord U. A ) )
24	13, 19, 23	sylc 62	1 |- ( A C_ On -> Ord U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   U.cuni 3808   Tr wtr 4099   Ord word 4360   Oncon0 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-uni 3809  df-tr 4100  df-iord 4364  df-on 4366

This theorem is referenced by:  ssonuni  4485  orduni  4492  tfrlem8  6314  tfrexlem  6330