Theorem tfrexlem 6392

Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrexlem.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrexlem.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrexlem	|- ( ( ph /\ C e. V ) -> (recs ( F ) ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f)   C( x, y, f)   V( x, y, f)

Proof of Theorem tfrexlem

Dummy variables e g h u v t w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( z = C -> (recs ( F ) ` z ) = (recs ( F ) ` C ) )
2	1	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( z = C -> ( (recs ( F ) ` z ) e. _V <-> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = C -> ( ( ph -> (recs ( F ) ` z ) e. _V ) <-> ( ph -> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) ) )
4		inss2 3384	. . . . . . 7 |- ( suc suc z i^i On ) C_ On
5		ssorduni 4523	. . . . . . 7 |- ( ( suc suc z i^i On ) C_ On -> Ord U. ( suc suc z i^i On ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord U. ( suc suc z i^i On )
7		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
8	7	sucex 4535	. . . . . . . . 9 |- suc z e. _V
9	8	sucex 4535	. . . . . . . 8 |- suc suc z e. _V
10	9	inex1 4167	. . . . . . 7 |- ( suc suc z i^i On ) e. _V
11	10	uniex 4472	. . . . . 6 |- U. ( suc suc z i^i On ) e. _V
12		elon2 4411	. . . . . 6 |- ( U. ( suc suc z i^i On ) e. On <-> ( Ord U. ( suc suc z i^i On ) /\ U. ( suc suc z i^i On ) e. _V ) )
13	6, 11, 12	mpbir2an 944	. . . . 5 |- U. ( suc suc z i^i On ) e. On
14		tfrexlem.1	. . . . . . 7 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
15	14	tfrlem3 6369	. . . . . 6 |- A = { v | E. z e. On ( v Fn z /\ A. u e. z ( v ` u ) = ( F ` ( v |` u ) ) ) }
16		tfrexlem.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
17		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
18	17	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) e. _V <-> ( F ` z ) e. _V ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) <-> ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) ) )
20	19	cbvalv 1932	. . . . . . 7 |- ( A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) <-> A. z ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) )
21	16, 20	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) )
22	15, 21	tfrlemi1 6390	. . . . 5 |- ( ( ph /\ U. ( suc suc z i^i On ) e. On ) -> E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
23	13, 22	mpan2 425	. . . 4 |- ( ph -> E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
24	15	recsfval 6373	. . . . . . . . . . 11 |- recs ( F ) = U. A
25	24	breqi 4039	. . . . . . . . . 10 |- ( zrecs ( F ) y <-> z U. A y )
26		df-br 4034	. . . . . . . . . 10 |- ( z U. A y <-> <. z , y >. e. U. A )
27		eluni 3842	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , y >. e. U. A <-> E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) )
28	25, 26, 27	3bitri 206	. . . . . . . . 9 |- ( zrecs ( F ) y <-> E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) )
29	7	sucid 4452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. suc z
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> h e. A )
31		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- h e. _V
32	14, 31	tfrlem3a 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h e. A <-> E. t e. On ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) )
33	30, 32	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> E. t e. On ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) )
34		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> t e. On )
35		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> h Fn t )
36		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> <. z , y >. e. h )
37		fnop 5361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h Fn t /\ <. z , y >. e. h ) -> z e. t )
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> z e. t )
39		onelon 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( t e. On /\ z e. t ) -> z e. On )
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> z e. On )
41	33, 40	rexlimddv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> z e. On )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. On )
43		onsuc 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. On -> suc z e. On )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc z e. On )
45		onsuc 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( suc z e. On -> suc suc z e. On )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc suc z e. On )
47		onss 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc suc z e. On -> suc suc z C_ On )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc suc z C_ On )
49		df-ss 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc suc z C_ On <-> ( suc suc z i^i On ) = suc suc z )
50	48, 49	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> ( suc suc z i^i On ) = suc suc z )
51	50	unieqd 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. ( suc suc z i^i On ) = U. suc suc z )
52		eloni 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc z e. On -> Ord suc z )
53		ordtr 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord suc z -> Tr suc z )
54	44, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> Tr suc z )
55	8	unisuc 4448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr suc z <-> U. suc suc z = suc z )
56	54, 55	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. suc suc z = suc z )
57	51, 56	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. ( suc suc z i^i On ) = suc z )
58	29, 57	eleqtrrid 2286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. U. ( suc suc z i^i On ) )
59		fndm 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) -> dom g = U. ( suc suc z i^i On ) )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> dom g = U. ( suc suc z i^i On ) )
61	58, 60	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. dom g )
62	7	eldm 4863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. dom g <-> E. x z g x )
63	61, 62	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> E. x z g x )
64		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z g x )
65		fneq2 5347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( g Fn v <-> g Fn U. ( suc suc z i^i On ) ) )
66		raleq 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) <-> A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
67	65, 66	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) <-> ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) )
68	67	rspcev 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U. ( suc suc z i^i On ) e. On /\ ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
69	13, 68	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
70		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- g e. _V
71	14, 70	tfrlem3a 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g e. A <-> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
72	69, 71	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> g e. A )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> g e. A )
74		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> h e. A )
75		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> <. z , y >. e. h )
76		df-br 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z h y <-> <. z , y >. e. h )
77	75, 76	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z h y )
78	15	tfrlem5 6372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. A /\ h e. A ) -> ( ( z g x /\ z h y ) -> x = y ) )
79	78	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g e. A /\ h e. A ) /\ ( z g x /\ z h y ) ) -> x = y )
80	73, 74, 64, 77, 79	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> x = y )
81	64, 80	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z g y )
82	63, 81	exlimddv 1913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z g y )
83		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
84	7, 83	brelrn 4899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z g y -> y e. ran g )
85	82, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> y e. ran g )
86		elssuni 3867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ran g -> y C_ U. ran g )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> y C_ U. ran g )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> y C_ U. ran g ) )
89	88	exlimdv 1833	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> y C_ U. ran g ) )
90	28, 89	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) )
91	90	alrimiv 1888	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. y ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) )
92		fvss 5572	. . . . . . 7 |- ( A. y ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) -> (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g )
93	91, 92	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g )
94	70	rnex 4933	. . . . . . . 8 |- ran g e. _V
95	94	uniex 4472	. . . . . . 7 |- U. ran g e. _V
96	95	ssex 4170	. . . . . 6 |- ( (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
97	93, 96	syl 14	. . . . 5 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
98	97	exlimiv 1612	. . . 4 |- ( E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
99	23, 98	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
100	3, 99	vtoclg 2824	. 2 |- ( C e. V -> ( ph -> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) )
101	100	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ C e. V ) -> (recs ( F ) ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   <.cop 3625   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   Tr wtr 4131   Ord word 4397   Oncon0 4398   suc csuc 4400   dom cdm 4663   ran crn 4664   |` cres 4665   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  recscrecs 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-recs 6363

This theorem is referenced by:  tfrex  6426