Theorem tfrexlem 6161

Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrexlem.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrexlem.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrexlem	|- ( ( ph /\ C e. V ) -> (recs ( F ) ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f)   C( x, y, f)   V( x, y, f)

Proof of Theorem tfrexlem

Dummy variables e g h u v t w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5353	. . . . 5 |- ( z = C -> (recs ( F ) ` z ) = (recs ( F ) ` C ) )
2	1	eleq1d 2168	. . . 4 |- ( z = C -> ( (recs ( F ) ` z ) e. _V <-> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = C -> ( ( ph -> (recs ( F ) ` z ) e. _V ) <-> ( ph -> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) ) )
4		inss2 3244	. . . . . . 7 |- ( suc suc z i^i On ) C_ On
5		ssorduni 4341	. . . . . . 7 |- ( ( suc suc z i^i On ) C_ On -> Ord U. ( suc suc z i^i On ) )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Ord U. ( suc suc z i^i On )
7		vex 2644	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
8	7	sucex 4353	. . . . . . . . 9 |- suc z e. _V
9	8	sucex 4353	. . . . . . . 8 |- suc suc z e. _V
10	9	inex1 4002	. . . . . . 7 |- ( suc suc z i^i On ) e. _V
11	10	uniex 4297	. . . . . 6 |- U. ( suc suc z i^i On ) e. _V
12		elon2 4236	. . . . . 6 |- ( U. ( suc suc z i^i On ) e. On <-> ( Ord U. ( suc suc z i^i On ) /\ U. ( suc suc z i^i On ) e. _V ) )
13	6, 11, 12	mpbir2an 894	. . . . 5 |- U. ( suc suc z i^i On ) e. On
14		tfrexlem.1	. . . . . . 7 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
15	14	tfrlem3 6138	. . . . . 6 |- A = { v | E. z e. On ( v Fn z /\ A. u e. z ( v ` u ) = ( F ` ( v |` u ) ) ) }
16		tfrexlem.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
17		fveq2 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
18	17	eleq1d 2168	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) e. _V <-> ( F ` z ) e. _V ) )
19	18	anbi2d 455	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) <-> ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) ) )
20	19	cbvalv 1854	. . . . . . 7 |- ( A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) <-> A. z ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) )
21	16, 20	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) )
22	15, 21	tfrlemi1 6159	. . . . 5 |- ( ( ph /\ U. ( suc suc z i^i On ) e. On ) -> E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
23	13, 22	mpan2 419	. . . 4 |- ( ph -> E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
24	15	recsfval 6142	. . . . . . . . . . 11 |- recs ( F ) = U. A
25	24	breqi 3881	. . . . . . . . . 10 |- ( zrecs ( F ) y <-> z U. A y )
26		df-br 3876	. . . . . . . . . 10 |- ( z U. A y <-> <. z , y >. e. U. A )
27		eluni 3686	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , y >. e. U. A <-> E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) )
28	25, 26, 27	3bitri 205	. . . . . . . . 9 |- ( zrecs ( F ) y <-> E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) )
29	7	sucid 4277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. suc z
30		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> h e. A )
31		vex 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- h e. _V
32	14, 31	tfrlem3a 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h e. A <-> E. t e. On ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) )
33	30, 32	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> E. t e. On ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) )
34		simprl 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> t e. On )
35		simprrl 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> h Fn t )
36		simpll 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> <. z , y >. e. h )
37		fnop 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h Fn t /\ <. z , y >. e. h ) -> z e. t )
38	35, 36, 37	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> z e. t )
39		onelon 4244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( t e. On /\ z e. t ) -> z e. On )
40	34, 38, 39	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> z e. On )
41	33, 40	rexlimddv 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> z e. On )
42	41	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. On )
43		suceloni 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. On -> suc z e. On )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc z e. On )
45		suceloni 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( suc z e. On -> suc suc z e. On )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc suc z e. On )
47		onss 4347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc suc z e. On -> suc suc z C_ On )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc suc z C_ On )
49		df-ss 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc suc z C_ On <-> ( suc suc z i^i On ) = suc suc z )
50	48, 49	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> ( suc suc z i^i On ) = suc suc z )
51	50	unieqd 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. ( suc suc z i^i On ) = U. suc suc z )
52		eloni 4235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc z e. On -> Ord suc z )
53		ordtr 4238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord suc z -> Tr suc z )
54	44, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> Tr suc z )
55	8	unisuc 4273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr suc z <-> U. suc suc z = suc z )
56	54, 55	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. suc suc z = suc z )
57	51, 56	eqtrd 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. ( suc suc z i^i On ) = suc z )
58	29, 57	syl5eleqr 2189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. U. ( suc suc z i^i On ) )
59		fndm 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) -> dom g = U. ( suc suc z i^i On ) )
60	59	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> dom g = U. ( suc suc z i^i On ) )
61	58, 60	eleqtrrd 2179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. dom g )
62	7	eldm 4674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. dom g <-> E. x z g x )
63	61, 62	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> E. x z g x )
64		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z g x )
65		fneq2 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( g Fn v <-> g Fn U. ( suc suc z i^i On ) ) )
66		raleq 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) <-> A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
67	65, 66	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) <-> ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) )
68	67	rspcev 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U. ( suc suc z i^i On ) e. On /\ ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
69	13, 68	mpan 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
70		vex 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- g e. _V
71	14, 70	tfrlem3a 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g e. A <-> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
72	69, 71	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> g e. A )
73	72	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> g e. A )
74		simplrr 506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> h e. A )
75		simplrl 505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> <. z , y >. e. h )
76		df-br 3876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z h y <-> <. z , y >. e. h )
77	75, 76	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z h y )
78	15	tfrlem5 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. A /\ h e. A ) -> ( ( z g x /\ z h y ) -> x = y ) )
79	78	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g e. A /\ h e. A ) /\ ( z g x /\ z h y ) ) -> x = y )
80	73, 74, 64, 77, 79	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> x = y )
81	64, 80	breqtrd 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z g y )
82	63, 81	exlimddv 1837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z g y )
83		vex 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
84	7, 83	brelrn 4710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z g y -> y e. ran g )
85	82, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> y e. ran g )
86		elssuni 3711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ran g -> y C_ U. ran g )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> y C_ U. ran g )
88	87	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> y C_ U. ran g ) )
89	88	exlimdv 1758	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> y C_ U. ran g ) )
90	28, 89	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) )
91	90	alrimiv 1813	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. y ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) )
92		fvss 5367	. . . . . . 7 |- ( A. y ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) -> (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g )
93	91, 92	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g )
94	70	rnex 4742	. . . . . . . 8 |- ran g e. _V
95	94	uniex 4297	. . . . . . 7 |- U. ran g e. _V
96	95	ssex 4005	. . . . . 6 |- ( (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
97	93, 96	syl 14	. . . . 5 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
98	97	exlimiv 1545	. . . 4 |- ( E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
99	23, 98	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
100	3, 99	vtoclg 2701	. 2 |- ( C e. V -> ( ph -> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) )
101	100	impcom 124	1 |- ( ( ph /\ C e. V ) -> (recs ( F ) ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1297   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   {cab 2086   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   i^i cin 3020   C_ wss 3021   <.cop 3477   U.cuni 3683   class class class wbr 3875   Tr wtr 3966   Ord word 4222   Oncon0 4223   suc csuc 4225   dom cdm 4477   ran crn 4478   |` cres 4479   Fun wfun 5053   Fn wfn 5054   ` cfv 5059  recscrecs 6131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-recs 6132

This theorem is referenced by:  tfrex  6195