Theorem tfrexlem 6387

Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrexlem.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrexlem.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrexlem	|- ( ( ph /\ C e. V ) -> (recs ( F ) ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f)   C( x, y, f)   V( x, y, f)

Proof of Theorem tfrexlem

Dummy variables e g h u v t w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( z = C -> (recs ( F ) ` z ) = (recs ( F ) ` C ) )
2	1	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( z = C -> ( (recs ( F ) ` z ) e. _V <-> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = C -> ( ( ph -> (recs ( F ) ` z ) e. _V ) <-> ( ph -> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) ) )
4		inss2 3380	. . . . . . 7 |- ( suc suc z i^i On ) C_ On
5		ssorduni 4519	. . . . . . 7 |- ( ( suc suc z i^i On ) C_ On -> Ord U. ( suc suc z i^i On ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord U. ( suc suc z i^i On )
7		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
8	7	sucex 4531	. . . . . . . . 9 |- suc z e. _V
9	8	sucex 4531	. . . . . . . 8 |- suc suc z e. _V
10	9	inex1 4163	. . . . . . 7 |- ( suc suc z i^i On ) e. _V
11	10	uniex 4468	. . . . . 6 |- U. ( suc suc z i^i On ) e. _V
12		elon2 4407	. . . . . 6 |- ( U. ( suc suc z i^i On ) e. On <-> ( Ord U. ( suc suc z i^i On ) /\ U. ( suc suc z i^i On ) e. _V ) )
13	6, 11, 12	mpbir2an 944	. . . . 5 |- U. ( suc suc z i^i On ) e. On
14		tfrexlem.1	. . . . . . 7 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
15	14	tfrlem3 6364	. . . . . 6 |- A = { v | E. z e. On ( v Fn z /\ A. u e. z ( v ` u ) = ( F ` ( v |` u ) ) ) }
16		tfrexlem.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
17		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
18	17	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) e. _V <-> ( F ` z ) e. _V ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) <-> ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) ) )
20	19	cbvalv 1929	. . . . . . 7 |- ( A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) <-> A. z ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) )
21	16, 20	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z ( Fun F /\ ( F ` z ) e. _V ) )
22	15, 21	tfrlemi1 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ U. ( suc suc z i^i On ) e. On ) -> E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
23	13, 22	mpan2 425	. . . 4 |- ( ph -> E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
24	15	recsfval 6368	. . . . . . . . . . 11 |- recs ( F ) = U. A
25	24	breqi 4035	. . . . . . . . . 10 |- ( zrecs ( F ) y <-> z U. A y )
26		df-br 4030	. . . . . . . . . 10 |- ( z U. A y <-> <. z , y >. e. U. A )
27		eluni 3838	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , y >. e. U. A <-> E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) )
28	25, 26, 27	3bitri 206	. . . . . . . . 9 |- ( zrecs ( F ) y <-> E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) )
29	7	sucid 4448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. suc z
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> h e. A )
31		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- h e. _V
32	14, 31	tfrlem3a 6363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h e. A <-> E. t e. On ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) )
33	30, 32	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> E. t e. On ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) )
34		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> t e. On )
35		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> h Fn t )
36		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> <. z , y >. e. h )
37		fnop 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h Fn t /\ <. z , y >. e. h ) -> z e. t )
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> z e. t )
39		onelon 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( t e. On /\ z e. t ) -> z e. On )
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) /\ ( t e. On /\ ( h Fn t /\ A. e e. t ( h ` e ) = ( F ` ( h |` e ) ) ) ) ) -> z e. On )
41	33, 40	rexlimddv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> z e. On )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. On )
43		onsuc 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. On -> suc z e. On )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc z e. On )
45		onsuc 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( suc z e. On -> suc suc z e. On )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc suc z e. On )
47		onss 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc suc z e. On -> suc suc z C_ On )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> suc suc z C_ On )
49		df-ss 3166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc suc z C_ On <-> ( suc suc z i^i On ) = suc suc z )
50	48, 49	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> ( suc suc z i^i On ) = suc suc z )
51	50	unieqd 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. ( suc suc z i^i On ) = U. suc suc z )
52		eloni 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc z e. On -> Ord suc z )
53		ordtr 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord suc z -> Tr suc z )
54	44, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> Tr suc z )
55	8	unisuc 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr suc z <-> U. suc suc z = suc z )
56	54, 55	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. suc suc z = suc z )
57	51, 56	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> U. ( suc suc z i^i On ) = suc z )
58	29, 57	eleqtrrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. U. ( suc suc z i^i On ) )
59		fndm 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) -> dom g = U. ( suc suc z i^i On ) )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> dom g = U. ( suc suc z i^i On ) )
61	58, 60	eleqtrrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z e. dom g )
62	7	eldm 4859	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. dom g <-> E. x z g x )
63	61, 62	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> E. x z g x )
64		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z g x )
65		fneq2 5343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( g Fn v <-> g Fn U. ( suc suc z i^i On ) ) )
66		raleq 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) <-> A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
67	65, 66	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = U. ( suc suc z i^i On ) -> ( ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) <-> ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) )
68	67	rspcev 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U. ( suc suc z i^i On ) e. On /\ ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
69	13, 68	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
70		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- g e. _V
71	14, 70	tfrlem3a 6363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g e. A <-> E. v e. On ( g Fn v /\ A. w e. v ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
72	69, 71	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> g e. A )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> g e. A )
74		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> h e. A )
75		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> <. z , y >. e. h )
76		df-br 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z h y <-> <. z , y >. e. h )
77	75, 76	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z h y )
78	15	tfrlem5 6367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. A /\ h e. A ) -> ( ( z g x /\ z h y ) -> x = y ) )
79	78	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g e. A /\ h e. A ) /\ ( z g x /\ z h y ) ) -> x = y )
80	73, 74, 64, 77, 79	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> x = y )
81	64, 80	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) /\ z g x ) -> z g y )
82	63, 81	exlimddv 1910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> z g y )
83		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
84	7, 83	brelrn 4895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z g y -> y e. ran g )
85	82, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> y e. ran g )
86		elssuni 3863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ran g -> y C_ U. ran g )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) /\ ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) ) -> y C_ U. ran g )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> y C_ U. ran g ) )
89	88	exlimdv 1830	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( E. h ( <. z , y >. e. h /\ h e. A ) -> y C_ U. ran g ) )
90	28, 89	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) )
91	90	alrimiv 1885	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. y ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) )
92		fvss 5568	. . . . . . 7 |- ( A. y ( zrecs ( F ) y -> y C_ U. ran g ) -> (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g )
93	91, 92	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g )
94	70	rnex 4929	. . . . . . . 8 |- ran g e. _V
95	94	uniex 4468	. . . . . . 7 |- U. ran g e. _V
96	95	ssex 4166	. . . . . 6 |- ( (recs ( F ) ` z ) C_ U. ran g -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
97	93, 96	syl 14	. . . . 5 |- ( ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
98	97	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. g ( g Fn U. ( suc suc z i^i On ) /\ A. w e. U. ( suc suc z i^i On ) ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
99	23, 98	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (recs ( F ) ` z ) e. _V )
100	3, 99	vtoclg 2820	. 2 |- ( C e. V -> ( ph -> (recs ( F ) ` C ) e. _V ) )
101	100	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ C e. V ) -> (recs ( F ) ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   C_ wss 3153   <.cop 3621   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   Tr wtr 4127   Ord word 4393   Oncon0 4394   suc csuc 4396   dom cdm 4659   ran crn 4660   |` cres 4661   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   ` cfv 5254  recscrecs 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-recs 6358

This theorem is referenced by:  tfrex  6421