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Theorem tfrexlem 6081
Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrexlem.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrexlem.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
Assertion
Ref Expression
tfrexlem  |-  ( (
ph  /\  C  e.  V )  ->  (recs ( F ) `  C
)  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, f, y, A    f, F, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    C( x, y, f)    V( x, y, f)

Proof of Theorem tfrexlem
Dummy variables  e  g  h  u  v  t  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5289 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (recs ( F ) `  z
)  =  (recs ( F ) `  C
) )
21eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
(recs ( F ) `
 z )  e. 
_V 
<->  (recs ( F ) `
 C )  e. 
_V ) )
32imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  ->  (recs ( F ) `  z
)  e.  _V )  <->  (
ph  ->  (recs ( F ) `  C )  e.  _V ) ) )
4 inss2 3219 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  z  i^i  On )  C_  On
5 ssorduni 4294 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  suc  z  i^i  On )  C_  On  ->  Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6  |-  Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On )
7 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
87sucex 4306 . . . . . . . . 9  |-  suc  z  e.  _V
98sucex 4306 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  z  e.  _V
109inex1 3965 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  z  i^i  On )  e.  _V
1110uniex 4255 . . . . . 6  |-  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  _V
12 elon2 4194 . . . . . 6  |-  ( U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On  <->  ( Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  _V )
)
136, 11, 12mpbir2an 888 . . . . 5  |-  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On
14 tfrexlem.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
1514tfrlem3 6058 . . . . . 6  |-  A  =  { v  |  E. z  e.  On  (
v  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( v `  u )  =  ( F `  ( v  |`  u
) ) ) }
16 tfrexlem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
17 fveq2 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1817eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  ( F `  z )  e.  _V ) )
1918anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( Fun  F  /\  ( F `  x )  e.  _V )  <->  ( Fun  F  /\  ( F `  z )  e.  _V ) ) )
2019cbvalv 1842 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( Fun  F  /\  ( F `  x
)  e.  _V )  <->  A. z ( Fun  F  /\  ( F `  z
)  e.  _V )
)
2116, 20sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z ( Fun 
F  /\  ( F `  z )  e.  _V ) )
2215, 21tfrlemi1 6079 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On )  ->  E. g ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
2313, 22mpan2 416 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
2415recsfval 6062 . . . . . . . . . . 11  |- recs ( F )  =  U. A
2524breqi 3843 . . . . . . . . . 10  |-  ( zrecs ( F ) y  <-> 
z U. A y )
26 df-br 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( z U. A y  <->  <. z ,  y >.  e.  U. A
)
27 eluni 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  y >.  e.  U. A  <->  E. h
( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )
2825, 26, 273bitri 204 . . . . . . . . 9  |-  ( zrecs ( F ) y  <->  E. h ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )
297sucid 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
suc  z
30 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  h  e.  A )
31 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  h  e. 
_V
3214, 31tfrlem3a 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  A  <->  E. t  e.  On  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e )  =  ( F `  ( h  |`  e ) ) ) )
3330, 32sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  E. t  e.  On  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e )  =  ( F `  ( h  |`  e ) ) ) )
34 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  t  e.  On )
35 simprrl 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  h  Fn  t )
36 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  <. z ,  y >.  e.  h
)
37 fnop 5103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( h  Fn  t  /\  <.
z ,  y >.  e.  h )  ->  z  e.  t )
3835, 36, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  z  e.  t )
39 onelon 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( t  e.  On  /\  z  e.  t )  ->  z  e.  On )
4034, 38, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  z  e.  On )
4133, 40rexlimddv 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  z  e.  On )
4241adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  On )
43 suceloni 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  z  e.  On )
45 suceloni 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( suc  z  e.  On  ->  suc 
suc  z  e.  On )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  suc  z  e.  On )
47 onss 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc 
suc  z  e.  On  ->  suc  suc  z  C_  On )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  suc  z  C_  On )
49 df-ss 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc 
suc  z  C_  On  <->  ( suc  suc  z  i^i  On )  =  suc  suc  z )
5048, 49sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
( suc  suc  z  i^i 
On )  =  suc  suc  z )
5150unieqd 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  =  U. suc  suc  z )
52 eloni 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  z  e.  On  ->  Ord 
suc  z )
53 ordtr 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
suc  z  ->  Tr  suc  z )
5444, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  Tr  suc  z )
558unisuc 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr 
suc  z  <->  U. suc  suc  z  =  suc  z )
5654, 55sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. suc  suc  z  =  suc  z )
5751, 56eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  =  suc  z )
5829, 57syl5eleqr 2177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
59 fndm 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  dom  g  =  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
6059ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  dom  g  =  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
6158, 60eleqtrrd 2167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  dom  g
)
627eldm 4621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  dom  g  <->  E. x  z g x )
6361, 62sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  E. x  z g
x )
64 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z g x )
65 fneq2 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( g  Fn  v  <->  g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ) )
66 raleq 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( A. w  e.  v  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) )  <->  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
6765, 66anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  (
g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  <->  ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) ) )
6867rspcev 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On  /\  ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )
6913, 68mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )
70 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  g  e. 
_V
7114, 70tfrlem3a 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
7269, 71sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
g  e.  A )
7372ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
g  e.  A )
74 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  h  e.  A )
75 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  <. z ,  y >.  e.  h )
76 df-br 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z h y  <->  <. z ,  y >.  e.  h
)
7775, 76sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z h y )
7815tfrlem5 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( ( z g x  /\  z h y )  ->  x  =  y ) )
7978imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A
)  /\  ( z
g x  /\  z
h y ) )  ->  x  =  y )
8073, 74, 64, 77, 79syl22anc 1175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  x  =  y )
8164, 80breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z g y )
8263, 81exlimddv 1826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z g y )
83 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
847, 83brelrn 4656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z g y  ->  y  e.  ran  g )
8582, 84syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
y  e.  ran  g
)
86 elssuni 3676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  g  -> 
y  C_  U. ran  g
)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
y  C_  U. ran  g
)
8887ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
)  ->  y  C_  U.
ran  g ) )
8988exlimdv 1747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( E. h (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  y  C_ 
U. ran  g )
)
9028, 89syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( zrecs ( F ) y  ->  y  C_ 
U. ran  g )
)
9190alrimiv 1802 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  A. y ( zrecs ( F ) y  -> 
y  C_  U. ran  g
) )
92 fvss 5303 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( zrecs ( F ) y  -> 
y  C_  U. ran  g
)  ->  (recs ( F ) `  z
)  C_  U. ran  g
)
9391, 92syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
(recs ( F ) `
 z )  C_  U.
ran  g )
9470rnex 4688 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
9594uniex 4255 . . . . . . 7  |-  U. ran  g  e.  _V
9695ssex 3968 . . . . . 6  |-  ( (recs ( F ) `  z )  C_  U. ran  g  ->  (recs ( F ) `  z )  e.  _V )
9793, 96syl 14 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
(recs ( F ) `
 z )  e. 
_V )
9897exlimiv 1534 . . . 4  |-  ( E. g ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  ->  (recs ( F ) `  z )  e.  _V )
9923, 98syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  (recs ( F ) `
 z )  e. 
_V )
1003, 99vtoclg 2679 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  ( ph  ->  (recs ( F ) `  C )  e.  _V ) )
101100impcom 123 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  V )  ->  (recs ( F ) `  C
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    i^i cin 2996    C_ wss 2997   <.cop 3444   U.cuni 3648   class class class wbr 3837   Tr wtr 3928   Ord word 4180   Oncon0 4181   suc csuc 4183   dom cdm 4428   ran crn 4429    |` cres 4430   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   ` cfv 5002  recscrecs 6051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-recs 6052
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