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Theorem tfrexlem 6238
Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrexlem.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrexlem.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
Assertion
Ref Expression
tfrexlem  |-  ( (
ph  /\  C  e.  V )  ->  (recs ( F ) `  C
)  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, f, y, A    f, F, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    C( x, y, f)    V( x, y, f)

Proof of Theorem tfrexlem
Dummy variables  e  g  h  u  v  t  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5428 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (recs ( F ) `  z
)  =  (recs ( F ) `  C
) )
21eleq1d 2209 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
(recs ( F ) `
 z )  e. 
_V 
<->  (recs ( F ) `
 C )  e. 
_V ) )
32imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  ->  (recs ( F ) `  z
)  e.  _V )  <->  (
ph  ->  (recs ( F ) `  C )  e.  _V ) ) )
4 inss2 3301 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  z  i^i  On )  C_  On
5 ssorduni 4410 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  suc  z  i^i  On )  C_  On  ->  Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On )
7 vex 2692 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
87sucex 4422 . . . . . . . . 9  |-  suc  z  e.  _V
98sucex 4422 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  z  e.  _V
109inex1 4069 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  z  i^i  On )  e.  _V
1110uniex 4366 . . . . . 6  |-  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  _V
12 elon2 4305 . . . . . 6  |-  ( U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On  <->  ( Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  _V )
)
136, 11, 12mpbir2an 927 . . . . 5  |-  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On
14 tfrexlem.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
1514tfrlem3 6215 . . . . . 6  |-  A  =  { v  |  E. z  e.  On  (
v  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( v `  u )  =  ( F `  ( v  |`  u
) ) ) }
16 tfrexlem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
17 fveq2 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1817eleq1d 2209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  ( F `  z )  e.  _V ) )
1918anbi2d 460 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( Fun  F  /\  ( F `  x )  e.  _V )  <->  ( Fun  F  /\  ( F `  z )  e.  _V ) ) )
2019cbvalv 1890 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( Fun  F  /\  ( F `  x
)  e.  _V )  <->  A. z ( Fun  F  /\  ( F `  z
)  e.  _V )
)
2116, 20sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z ( Fun 
F  /\  ( F `  z )  e.  _V ) )
2215, 21tfrlemi1 6236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On )  ->  E. g ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
2313, 22mpan2 422 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
2415recsfval 6219 . . . . . . . . . . 11  |- recs ( F )  =  U. A
2524breqi 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( zrecs ( F ) y  <-> 
z U. A y )
26 df-br 3937 . . . . . . . . . 10  |-  ( z U. A y  <->  <. z ,  y >.  e.  U. A
)
27 eluni 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  y >.  e.  U. A  <->  E. h
( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )
2825, 26, 273bitri 205 . . . . . . . . 9  |-  ( zrecs ( F ) y  <->  E. h ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )
297sucid 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
suc  z
30 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  h  e.  A )
31 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  h  e. 
_V
3214, 31tfrlem3a 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  A  <->  E. t  e.  On  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e )  =  ( F `  ( h  |`  e ) ) ) )
3330, 32sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  E. t  e.  On  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e )  =  ( F `  ( h  |`  e ) ) ) )
34 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  t  e.  On )
35 simprrl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  h  Fn  t )
36 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  <. z ,  y >.  e.  h
)
37 fnop 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( h  Fn  t  /\  <.
z ,  y >.  e.  h )  ->  z  e.  t )
3835, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  z  e.  t )
39 onelon 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( t  e.  On  /\  z  e.  t )  ->  z  e.  On )
4034, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  z  e.  On )
4133, 40rexlimddv 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  z  e.  On )
4241adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  On )
43 suceloni 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  z  e.  On )
45 suceloni 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( suc  z  e.  On  ->  suc 
suc  z  e.  On )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  suc  z  e.  On )
47 onss 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc 
suc  z  e.  On  ->  suc  suc  z  C_  On )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  suc  z  C_  On )
49 df-ss 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc 
suc  z  C_  On  <->  ( suc  suc  z  i^i  On )  =  suc  suc  z )
5048, 49sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
( suc  suc  z  i^i 
On )  =  suc  suc  z )
5150unieqd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  =  U. suc  suc  z )
52 eloni 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  z  e.  On  ->  Ord 
suc  z )
53 ordtr 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
suc  z  ->  Tr  suc  z )
5444, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  Tr  suc  z )
558unisuc 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr 
suc  z  <->  U. suc  suc  z  =  suc  z )
5654, 55sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. suc  suc  z  =  suc  z )
5751, 56eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  =  suc  z )
5829, 57eleqtrrid 2230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
59 fndm 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  dom  g  =  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
6059ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  dom  g  =  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
6158, 60eleqtrrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  dom  g
)
627eldm 4743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  dom  g  <->  E. x  z g x )
6361, 62sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  E. x  z g
x )
64 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z g x )
65 fneq2 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( g  Fn  v  <->  g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ) )
66 raleq 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( A. w  e.  v  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) )  <->  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
6765, 66anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  (
g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  <->  ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) ) )
6867rspcev 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On  /\  ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )
6913, 68mpan 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )
70 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  g  e. 
_V
7114, 70tfrlem3a 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
7269, 71sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
g  e.  A )
7372ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
g  e.  A )
74 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  h  e.  A )
75 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  <. z ,  y >.  e.  h )
76 df-br 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z h y  <->  <. z ,  y >.  e.  h
)
7775, 76sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z h y )
7815tfrlem5 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( ( z g x  /\  z h y )  ->  x  =  y ) )
7978imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A
)  /\  ( z
g x  /\  z
h y ) )  ->  x  =  y )
8073, 74, 64, 77, 79syl22anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  x  =  y )
8164, 80breqtrd 3961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z g y )
8263, 81exlimddv 1871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z g y )
83 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
847, 83brelrn 4779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z g y  ->  y  e.  ran  g )
8582, 84syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
y  e.  ran  g
)
86 elssuni 3771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  g  -> 
y  C_  U. ran  g
)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
y  C_  U. ran  g
)
8887ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
)  ->  y  C_  U.
ran  g ) )
8988exlimdv 1792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( E. h (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  y  C_ 
U. ran  g )
)
9028, 89syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( zrecs ( F ) y  ->  y  C_ 
U. ran  g )
)
9190alrimiv 1847 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  A. y ( zrecs ( F ) y  -> 
y  C_  U. ran  g
) )
92 fvss 5442 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( zrecs ( F ) y  -> 
y  C_  U. ran  g
)  ->  (recs ( F ) `  z
)  C_  U. ran  g
)
9391, 92syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
(recs ( F ) `
 z )  C_  U.
ran  g )
9470rnex 4813 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
9594uniex 4366 . . . . . . 7  |-  U. ran  g  e.  _V
9695ssex 4072 . . . . . 6  |-  ( (recs ( F ) `  z )  C_  U. ran  g  ->  (recs ( F ) `  z )  e.  _V )
9793, 96syl 14 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
(recs ( F ) `
 z )  e. 
_V )
9897exlimiv 1578 . . . 4  |-  ( E. g ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  ->  (recs ( F ) `  z )  e.  _V )
9923, 98syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  (recs ( F ) `
 z )  e. 
_V )
1003, 99vtoclg 2749 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  ( ph  ->  (recs ( F ) `  C )  e.  _V ) )
101100impcom 124 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  V )  ->  (recs ( F ) `  C
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1330    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689    i^i cin 3074    C_ wss 3075   <.cop 3534   U.cuni 3743   class class class wbr 3936   Tr wtr 4033   Ord word 4291   Oncon0 4292   suc csuc 4294   dom cdm 4546   ran crn 4547    |` cres 4548   Fun wfun 5124    Fn wfn 5125   ` cfv 5130  recscrecs 6208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-recs 6209
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