Theorem peano2b 4429

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4410	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2630	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4314	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 132	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4243	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4420	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 413	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 124	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   suc csuc 4192   omcom 4405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-suc 4198  df-iom 4406

This theorem is referenced by:  nnmsucr  6249  nnpredcl  11890