ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2b Unicode version

Theorem peano2b 4528
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 peano2 4509 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
2 elex 2697 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  suc 
A  e.  _V )
3 sucexb 4413 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
42, 3sylibr 133 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  _V )
5 sucidg 4338 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  suc  A )
7 elnn 4519 . . 3  |-  ( ( A  e.  suc  A  /\  suc  A  e.  om )  ->  A  e.  om )
86, 7mpancom 418 . 2  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  om )
91, 8impbii 125 1  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   suc csuc 4287   omcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  nnpredcl  4536  nnmsucr  6384
  Copyright terms: Public domain W3C validator