Theorem peano2b 4613

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4593	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2748	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4495	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4415	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4604	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 422	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 126	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   suc csuc 4364   omcom 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-suc 4370  df-iom 4589

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4621  nnmsucr  6485