ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2b Unicode version

Theorem peano2b 4498
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 peano2 4479 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
2 elex 2671 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  suc 
A  e.  _V )
3 sucexb 4383 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
42, 3sylibr 133 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  _V )
5 sucidg 4308 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  suc  A )
7 elnn 4489 . . 3  |-  ( ( A  e.  suc  A  /\  suc  A  e.  om )  ->  A  e.  om )
86, 7mpancom 418 . 2  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  om )
91, 8impbii 125 1  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   suc csuc 4257   omcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-suc 4263  df-iom 4475
This theorem is referenced by:  nnpredcl  4506  nnmsucr  6352
  Copyright terms: Public domain W3C validator