Theorem peano2b 4663

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4643	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2783	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4545	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4463	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4654	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 422	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 126	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   suc csuc 4412   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4671  nnmsucr  6574