Theorem peano2b 4592

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4572	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2737	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4474	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4394	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4583	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 419	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 125	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4600  nnmsucr  6456