ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucexb GIF version

Theorem sucexb 4495
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 4441 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2 snexg 4183 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
32pm4.71i 391 . 2 (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4 df-suc 4370 . . 3 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
54eleq1i 2243 . 2 (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
61, 3, 53bitr4i 212 1 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  {csn 3592  suc csuc 4364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-suc 4370
This theorem is referenced by:  sucexg  4496  onsucb  4501  onsucelsucr  4506  sucunielr  4508  peano2b  4613
  Copyright terms: Public domain W3C validator