Theorem unidif0 4099

Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif0	|- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Proof of Theorem unidif0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3373	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> -. y = (/) )
2	1	pm4.71i 389	. . . . . 6 |- ( x e. y <-> ( x e. y /\ -. y = (/) ) )
3	2	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. A ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
4		an32 552	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
5		anass 399	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr2ri 208	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
7	6	exbii 1585	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3747	. . . 4 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) )
9		eldif 3085	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) )
10		velsn 3549	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
11	10	notbii 658	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. { (/) } <-> -. y = (/) )
12	11	anbi2i 453	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
13	9, 12	bitri 183	. . . . . 6 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
14	13	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
15	14	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
16	8, 15	bitri 183	. . 3 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
17		eluni 3747	. . 3 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
18	7, 16, 17	3bitr4i 211	. 2 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> x e. U. A )
19	18	eqriv 2137	1 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   \ cdif 3073   (/)c0 3368   {csn 3532   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369  df-sn 3538  df-uni 3745

This theorem is referenced by: (None)