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Theorem unidif0 3994
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3289 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
21pm4.71i 383 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  <->  ( x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) ) )
32anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  <->  ( ( x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) )  /\  y  e.  A ) )
4 an32 529 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) )  /\  y  e.  A )
)
5 anass 393 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
63, 4, 53bitr2ri 207 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
76exbii 1541 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
8 eluni 3651 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/)
} ) ) )
9 eldif 3006 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )
10 velsn 3458 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1110notbii 629 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  { (/) }  <->  -.  y  =  (/) )
1211anbi2i 445 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )
139, 12bitri 182 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )
1413anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/) } ) )  <-> 
( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
1514exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/)
} ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
168, 15bitri 182 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
17 eluni 3651 . . 3  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
187, 16, 173bitr4i 210 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <-> 
x  e.  U. A
)
1918eqriv 2085 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438    \ cdif 2994   (/)c0 3284   {csn 3441   U.cuni 3648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-nul 3285  df-sn 3447  df-uni 3649
This theorem is referenced by: (None)
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