Theorem unidif0 4299

Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif0	|- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Proof of Theorem unidif0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3527	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> -. y = (/) )
2	1	pm4.71i 395	. . . . . 6 |- ( x e. y <-> ( x e. y /\ -. y = (/) ) )
3	2	anbi1i 462	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. A ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
4		an32 568	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
5		anass 405	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr2ri 209	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
7	6	exbii 1658	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3933	. . . 4 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) )
9		eldif 3229	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) )
10		velsn 3722	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
11	10	notbii 678	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. { (/) } <-> -. y = (/) )
12	11	anbi2i 461	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
13	9, 12	bitri 184	. . . . . 6 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
14	13	anbi2i 461	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
15	14	exbii 1658	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
16	8, 15	bitri 184	. . 3 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
17		eluni 3933	. . 3 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
18	7, 16, 17	3bitr4i 212	. 2 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> x e. U. A )
19	18	eqriv 2235	1 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3705   U.cuni 3930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521  df-sn 3711  df-uni 3931

This theorem is referenced by: (None)