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Theorem unidif0 4059
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3336 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
21pm4.71i 386 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  <->  ( x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) ) )
32anbi1i 451 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  <->  ( ( x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) )  /\  y  e.  A ) )
4 an32 534 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) )  /\  y  e.  A )
)
5 anass 396 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
63, 4, 53bitr2ri 208 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
76exbii 1567 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
8 eluni 3707 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/)
} ) ) )
9 eldif 3048 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )
10 velsn 3512 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1110notbii 640 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  { (/) }  <->  -.  y  =  (/) )
1211anbi2i 450 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )
139, 12bitri 183 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )
1413anbi2i 450 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/) } ) )  <-> 
( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
1514exbii 1567 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/)
} ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
168, 15bitri 183 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
17 eluni 3707 . . 3  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
187, 16, 173bitr4i 211 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <-> 
x  e.  U. A
)
1918eqriv 2112 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    \ cdif 3036   (/)c0 3331   {csn 3495   U.cuni 3704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-v 2660  df-dif 3041  df-nul 3332  df-sn 3501  df-uni 3705
This theorem is referenced by: (None)
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