Theorem relfld 4972

Description: The double union of a relation is its field. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
relfld	|- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )

Proof of Theorem relfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdmrn 4964	. . . 4 |- ( Rel R -> R C_ ( dom R X. ran R ) )
2		uniss 3680	. . . 4 |- ( R C_ ( dom R X. ran R ) -> U. R C_ U. ( dom R X. ran R ) )
3		uniss 3680	. . . 4 |- ( U. R C_ U. ( dom R X. ran R ) -> U. U. R C_ U. U. ( dom R X. ran R ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( Rel R -> U. U. R C_ U. U. ( dom R X. ran R ) )
5		unixpss 4564	. . 3 |- U. U. ( dom R X. ran R ) C_ ( dom R u. ran R )
6	4, 5	syl6ss 3038	. 2 |- ( Rel R -> U. U. R C_ ( dom R u. ran R ) )
7		dmrnssfld 4709	. . 3 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
8	7	a1i 9	. 2 |- ( Rel R -> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
9	6, 8	eqssd 3043	1 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   u. cun 2998   C_ wss 3000   U.cuni 3659   X. cxp 4450   dom cdm 4452   ran crn 4453   Rel wrel 4457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-dm 4462  df-rn 4463

This theorem is referenced by:  relresfld  4973  relcoi1  4975  unidmrn  4976  relcnvfld  4977  unixpm  4979