Theorem relfld 5075

Description: The double union of a relation is its field. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
relfld	|- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )

Proof of Theorem relfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdmrn 5067	. . . 4 |- ( Rel R -> R C_ ( dom R X. ran R ) )
2		uniss 3765	. . . 4 |- ( R C_ ( dom R X. ran R ) -> U. R C_ U. ( dom R X. ran R ) )
3		uniss 3765	. . . 4 |- ( U. R C_ U. ( dom R X. ran R ) -> U. U. R C_ U. U. ( dom R X. ran R ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( Rel R -> U. U. R C_ U. U. ( dom R X. ran R ) )
5		unixpss 4660	. . 3 |- U. U. ( dom R X. ran R ) C_ ( dom R u. ran R )
6	4, 5	sstrdi 3114	. 2 |- ( Rel R -> U. U. R C_ ( dom R u. ran R ) )
7		dmrnssfld 4810	. . 3 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
8	7	a1i 9	. 2 |- ( Rel R -> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
9	6, 8	eqssd 3119	1 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   u. cun 3074   C_ wss 3076   U.cuni 3744   X. cxp 4545   dom cdm 4547   ran crn 4548   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  relresfld  5076  relcoi1  5078  unidmrn  5079  relcnvfld  5080  unixpm  5082