Theorem dfdif3 3186

Description: Alternate definition of class difference. Definition of relative set complement in Section 2.3 of [Pierik], p. 10. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 16-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfdif3	|- ( A \ B ) = { x e. A | A. y e. B x =/= y }

Distinct variable groups:   x, A   x, B, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem dfdif3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdif2 3079	. 2 |- ( A \ B ) = { x e. A | -. x e. B }
2		a9ev 1675	. . . . . . 7 |- E. y y = x
3	2	biantrur 301	. . . . . 6 |- ( -. x e. B <-> ( E. y y = x /\ -. x e. B ) )
4		19.41v 1874	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = x /\ -. x e. B ) <-> ( E. y y = x /\ -. x e. B ) )
5	3, 4	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( -. x e. B <-> E. y ( y = x /\ -. x e. B ) )
6		sb56 1857	. . . . 5 |- ( E. y ( y = x /\ -. x e. B ) <-> A. y ( y = x -> -. x e. B ) )
7		equcom 1682	. . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
8	7	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( y = x -> -. x e. B ) <-> ( x = y -> -. x e. B ) )
9		eleq1w 2200	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
10	9	notbid 656	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( -. x e. B <-> -. y e. B ) )
11	10	pm5.74i 179	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> -. x e. B ) <-> ( x = y -> -. y e. B ) )
12		con2b 658	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> -. y e. B ) <-> ( y e. B -> -. x = y ) )
13		df-ne 2309	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
14	13	bicomi 131	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = y <-> x =/= y )
15	14	imbi2i 225	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B -> -. x = y ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
16	11, 12, 15	3bitri 205	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> -. x e. B ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
17	8, 16	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( y = x -> -. x e. B ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
18	17	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. y ( y = x -> -. x e. B ) <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
19	5, 6, 18	3bitri 205	. . . 4 |- ( -. x e. B <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
20		df-ral 2421	. . . 4 |- ( A. y e. B x =/= y <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
21	19, 20	bitr4i 186	. . 3 |- ( -. x e. B <-> A. y e. B x =/= y )
22	21	rabbii 2672	. 2 |- { x e. A | -. x e. B } = { x e. A | A. y e. B x =/= y }
23	1, 22	eqtri 2160	1 |- ( A \ B ) = { x e. A | A. y e. B x =/= y }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   {crab 2420   \ cdif 3068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rab 2425  df-dif 3073

This theorem is referenced by: (None)