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Theorem dfdif3 3094
Description: Alternate definition of class difference. Definition of relative set complement in Section 2.3 of [Pierik], p. 10. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 16-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
dfdif3  |-  ( A 
\  B )  =  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =/=  y }
Distinct variable groups:    x, A    x, B, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem dfdif3
StepHypRef Expression
1 dfdif2 2992 . 2  |-  ( A 
\  B )  =  { x  e.  A  |  -.  x  e.  B }
2 a9ev 1628 . . . . . . 7  |-  E. y 
y  =  x
32biantrur 297 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  B  <->  ( E. y  y  =  x  /\  -.  x  e.  B
) )
4 19.41v 1825 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  =  x  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( E. y  y  =  x  /\  -.  x  e.  B
) )
53, 4bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  B  <->  E. y
( y  =  x  /\  -.  x  e.  B ) )
6 sb56 1808 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  =  x  /\  -.  x  e.  B )  <->  A. y
( y  =  x  ->  -.  x  e.  B ) )
7 equcom 1635 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
87imbi1i 236 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  =  y  ->  -.  x  e.  B ) )
9 eleq1w 2143 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
109notbid 625 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  B  <->  -.  y  e.  B ) )
1110pm5.74i 178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  =  y  ->  -.  y  e.  B ) )
12 con2b 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  ->  -.  y  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  ->  -.  x  =  y ) )
13 df-ne 2250 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
1413bicomi 130 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  y  <->  x  =/=  y )
1514imbi2i 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  ->  -.  x  =  y
)  <->  ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
1611, 12, 153bitri 204 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
178, 16bitri 182 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
1817albii 1400 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x  e.  B )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
195, 6, 183bitri 204 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
20 df-ral 2358 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  x  =/=  y  <->  A. y ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
2119, 20bitr4i 185 . . 3  |-  ( -.  x  e.  B  <->  A. y  e.  B  x  =/=  y )
2221rabbii 2598 . 2  |-  { x  e.  A  |  -.  x  e.  B }  =  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =/=  y }
231, 22eqtri 2103 1  |-  ( A 
\  B )  =  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =/=  y }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    =/= wne 2249   A.wral 2353   {crab 2357    \ cdif 2981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-11 1438  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rab 2362  df-dif 2986
This theorem is referenced by: (None)
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