Theorem dfdif3 3099

Description: Alternate definition of class difference. Definition of relative set complement in Section 2.3 of [Pierik], p. 10. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 16-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfdif3	|- ( A \ B ) = { x e. A | A. y e. B x =/= y }

Distinct variable groups:   x, A   x, B, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem dfdif3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdif2 2996	. 2 |- ( A \ B ) = { x e. A | -. x e. B }
2		a9ev 1630	. . . . . . 7 |- E. y y = x
3	2	biantrur 297	. . . . . 6 |- ( -. x e. B <-> ( E. y y = x /\ -. x e. B ) )
4		19.41v 1827	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = x /\ -. x e. B ) <-> ( E. y y = x /\ -. x e. B ) )
5	3, 4	bitr4i 185	. . . . 5 |- ( -. x e. B <-> E. y ( y = x /\ -. x e. B ) )
6		sb56 1810	. . . . 5 |- ( E. y ( y = x /\ -. x e. B ) <-> A. y ( y = x -> -. x e. B ) )
7		equcom 1637	. . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
8	7	imbi1i 236	. . . . . . 7 |- ( ( y = x -> -. x e. B ) <-> ( x = y -> -. x e. B ) )
9		eleq1w 2145	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
10	9	notbid 625	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( -. x e. B <-> -. y e. B ) )
11	10	pm5.74i 178	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> -. x e. B ) <-> ( x = y -> -. y e. B ) )
12		con2b 626	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> -. y e. B ) <-> ( y e. B -> -. x = y ) )
13		df-ne 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
14	13	bicomi 130	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = y <-> x =/= y )
15	14	imbi2i 224	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B -> -. x = y ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
16	11, 12, 15	3bitri 204	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> -. x e. B ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
17	8, 16	bitri 182	. . . . . 6 |- ( ( y = x -> -. x e. B ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
18	17	albii 1402	. . . . 5 |- ( A. y ( y = x -> -. x e. B ) <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
19	5, 6, 18	3bitri 204	. . . 4 |- ( -. x e. B <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
20		df-ral 2360	. . . 4 |- ( A. y e. B x =/= y <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
21	19, 20	bitr4i 185	. . 3 |- ( -. x e. B <-> A. y e. B x =/= y )
22	21	rabbii 2601	. 2 |- { x e. A | -. x e. B } = { x e. A | A. y e. B x =/= y }
23	1, 22	eqtri 2105	1 |- ( A \ B ) = { x e. A | A. y e. B x =/= y }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1285   = wceq 1287   E.wex 1424   e. wcel 1436   =/= wne 2251   A.wral 2355   {crab 2359   \ cdif 2985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-11 1440  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rab 2364  df-dif 2990

This theorem is referenced by: (None)