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Theorem dfdif3 3154
Description: Alternate definition of class difference. Definition of relative set complement in Section 2.3 of [Pierik], p. 10. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 16-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
dfdif3  |-  ( A 
\  B )  =  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =/=  y }
Distinct variable groups:    x, A    x, B, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem dfdif3
StepHypRef Expression
1 dfdif2 3047 . 2  |-  ( A 
\  B )  =  { x  e.  A  |  -.  x  e.  B }
2 a9ev 1658 . . . . . . 7  |-  E. y 
y  =  x
32biantrur 299 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  B  <->  ( E. y  y  =  x  /\  -.  x  e.  B
) )
4 19.41v 1856 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  =  x  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( E. y  y  =  x  /\  -.  x  e.  B
) )
53, 4bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  B  <->  E. y
( y  =  x  /\  -.  x  e.  B ) )
6 sb56 1839 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  =  x  /\  -.  x  e.  B )  <->  A. y
( y  =  x  ->  -.  x  e.  B ) )
7 equcom 1665 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
87imbi1i 237 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  =  y  ->  -.  x  e.  B ) )
9 eleq1w 2176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
109notbid 639 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  B  <->  -.  y  e.  B ) )
1110pm5.74i 179 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  =  y  ->  -.  y  e.  B ) )
12 con2b 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  ->  -.  y  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  ->  -.  x  =  y ) )
13 df-ne 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
1413bicomi 131 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  y  <->  x  =/=  y )
1514imbi2i 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  ->  -.  x  =  y
)  <->  ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
1611, 12, 153bitri 205 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
178, 16bitri 183 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
1817albii 1429 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x  e.  B )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
195, 6, 183bitri 205 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
20 df-ral 2396 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  x  =/=  y  <->  A. y ( y  e.  B  ->  x  =/=  y ) )
2119, 20bitr4i 186 . . 3  |-  ( -.  x  e.  B  <->  A. y  e.  B  x  =/=  y )
2221rabbii 2644 . 2  |-  { x  e.  A  |  -.  x  e.  B }  =  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =/=  y }
231, 22eqtri 2136 1  |-  ( A 
\  B )  =  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =/=  y }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   {crab 2395    \ cdif 3036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-11 1467  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rab 2400  df-dif 3041
This theorem is referenced by: (None)
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