Theorem dfdif3 3232

Description: Alternate definition of class difference. Definition of relative set complement in Section 2.3 of [Pierik], p. 10. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 16-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfdif3	|- ( A \ B ) = { x e. A | A. y e. B x =/= y }

Distinct variable groups:   x, A   x, B, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem dfdif3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdif2 3124	. 2 |- ( A \ B ) = { x e. A | -. x e. B }
2		a9ev 1685	. . . . . . 7 |- E. y y = x
3	2	biantrur 301	. . . . . 6 |- ( -. x e. B <-> ( E. y y = x /\ -. x e. B ) )
4		19.41v 1890	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = x /\ -. x e. B ) <-> ( E. y y = x /\ -. x e. B ) )
5	3, 4	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( -. x e. B <-> E. y ( y = x /\ -. x e. B ) )
6		sb56 1873	. . . . 5 |- ( E. y ( y = x /\ -. x e. B ) <-> A. y ( y = x -> -. x e. B ) )
7		equcom 1694	. . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
8	7	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( y = x -> -. x e. B ) <-> ( x = y -> -. x e. B ) )
9		eleq1w 2227	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
10	9	notbid 657	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( -. x e. B <-> -. y e. B ) )
11	10	pm5.74i 179	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> -. x e. B ) <-> ( x = y -> -. y e. B ) )
12		con2b 659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> -. y e. B ) <-> ( y e. B -> -. x = y ) )
13		df-ne 2337	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
14	13	bicomi 131	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = y <-> x =/= y )
15	14	imbi2i 225	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B -> -. x = y ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
16	11, 12, 15	3bitri 205	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> -. x e. B ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
17	8, 16	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( y = x -> -. x e. B ) <-> ( y e. B -> x =/= y ) )
18	17	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. y ( y = x -> -. x e. B ) <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
19	5, 6, 18	3bitri 205	. . . 4 |- ( -. x e. B <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
20		df-ral 2449	. . . 4 |- ( A. y e. B x =/= y <-> A. y ( y e. B -> x =/= y ) )
21	19, 20	bitr4i 186	. . 3 |- ( -. x e. B <-> A. y e. B x =/= y )
22	21	rabbii 2712	. 2 |- { x e. A | -. x e. B } = { x e. A | A. y e. B x =/= y }
23	1, 22	eqtri 2186	1 |- ( A \ B ) = { x e. A | A. y e. B x =/= y }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   {crab 2448   \ cdif 3113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rab 2453  df-dif 3118

This theorem is referenced by: (None)