Theorem wlkmex 16543

Description: If there are walks on a graph, the graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkmex	|- ( W e. (Walks ` G ) -> G e. _V )

Proof of Theorem wlkmex

Dummy variables f g k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wlks 16542	. 2 |- Walks = ( g e. _V |-> { <. f , p >. | ( f e. Word dom (iEdg ` g ) /\ p : ( 0 ... (♯ ` f ) ) --> (Vtx ` g ) /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` f ) )if- ( ( p ` k ) = ( p ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` g ) ` ( f ` k ) ) = { ( p ` k ) } , { ( p ` k ) , ( p ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` g ) ` ( f ` k ) ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5785	1 |- ( W e. (Walks ` G ) -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4  if-wif 990   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3708   {cpr 3709   {copab 4189   dom cdm 4772   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   ...cfz 10394  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197  Word cword 11287  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  Walkscwlks 16541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-wlks 16542

This theorem is referenced by:  wlkv  16550  wlkcompim  16576  wlkeq  16578