Theorem wlkmex 16363

Description: If there are walks on a graph, the graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkmex	|- ( W e. (Walks ` G ) -> G e. _V )

Proof of Theorem wlkmex

Dummy variables f g k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wlks 16362	. 2 |- Walks = ( g e. _V |-> { <. f , p >. | ( f e. Word dom (iEdg ` g ) /\ p : ( 0 ... (♯ ` f ) ) --> (Vtx ` g ) /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` f ) )if- ( ( p ` k ) = ( p ` ( k + 1 ) ) , ( (iEdg ` g ) ` ( f ` k ) ) = { ( p ` k ) } , { ( p ` k ) , ( p ` ( k + 1 ) ) } C_ ( (iEdg ` g ) ` ( f ` k ) ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5762	1 |- ( W e. (Walks ` G ) -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4  if-wif 986   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   {csn 3691   {cpr 3692   {copab 4172   dom cdm 4751   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8132   1c1 8133   + caddc 8135   ...cfz 10348  ..^cfzo 10483  ♯chash 11146  Word cword 11232  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  Walkscwlks 16361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-wlks 16362

This theorem is referenced by:  wlkv  16370  wlkcompim  16396  wlkeq  16398