Theorem mptrcl 5782

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	|- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   I( x)   X( x)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmptss 5279	. 2 |- dom F C_ A
3	1	funmpt2 5411	. . . 4 |- Fun F
4		funrel 5389	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- Rel F
6		relelfvdm 5722	. . 3 |- ( ( Rel F /\ I e. ( F ` X ) ) -> X e. dom F )
7	5, 6	mpan 428	. 2 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. dom F )
8	2, 7	sselid 3246	1 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4187   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   Fun wfun 5366   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  bitsval  12688  divsfval  13626  submrcl  13755  issubg  13953  isnsg  13982  issubrng  14480  issubrg  14502  zrhval  14924  psmetdmdm  15348  psmetf  15349  psmet0  15351  psmettri2  15352  psmetres2  15357  plybss  15757  edgval  16215  wlkmex  16474  wlkreslem  16533  trlsv  16539  isclwwlk  16549  clwwlkbp  16550  clwwlknonmpo  16583  eupthv  16601  trlsegvdegfi  16622  eupth2lem3lem1fi  16623  eupth2lem3lem2fi  16624  eupth2lem3lem6fi  16626  eupth2lem3lem4fi  16628