Theorem mptrcl 5738

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	|- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   I( x)   X( x)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmptss 5240	. 2 |- dom F C_ A
3	1	funmpt2 5372	. . . 4 |- Fun F
4		funrel 5350	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- Rel F
6		relelfvdm 5680	. . 3 |- ( ( Rel F /\ I e. ( F ` X ) ) -> X e. dom F )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. dom F )
8	2, 7	sselid 3226	1 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   |-> cmpt 4155   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   Fun wfun 5327   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  bitsval  12567  divsfval  13474  submrcl  13617  issubg  13823  isnsg  13852  issubrng  14277  issubrg  14299  zrhval  14696  psmetdmdm  15118  psmetf  15119  psmet0  15121  psmettri2  15122  psmetres2  15127  plybss  15527  edgval  15984  wlkmex  16243  wlkreslem  16302  trlsv  16308  isclwwlk  16318  clwwlkbp  16319  clwwlknonmpo  16352  eupthv  16370  trlsegvdegfi  16391  eupth2lem3lem1fi  16392  eupth2lem3lem2fi  16393  eupth2lem3lem6fi  16395  eupth2lem3lem4fi  16397