Theorem mptrcl 5788

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	|- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   I( x)   X( x)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmptss 5284	. 2 |- dom F C_ A
3	1	funmpt2 5416	. . . 4 |- Fun F
4		funrel 5394	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- Rel F
6		relelfvdm 5727	. . 3 |- ( ( Rel F /\ I e. ( F ` X ) ) -> X e. dom F )
7	5, 6	mpan 428	. 2 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. dom F )
8	2, 7	sselid 3246	1 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  indval0  9297  bitsval  12710  divsfval  13649  submrcl  13778  issubg  13976  isnsg  14005  issubrng  14507  issubrg  14529  zrhval  14952  asclfval  15021  psmetdmdm  15425  psmetf  15426  psmet0  15428  psmettri2  15429  psmetres2  15434  plybss  15834  edgval  16301  wlkmex  16560  wlkreslem  16619  trlsv  16625  isclwwlk  16635  clwwlkbp  16636  clwwlknonmpo  16669  eupthv  16687  trlsegvdegfi  16708  eupth2lem3lem1fi  16709  eupth2lem3lem2fi  16710  eupth2lem3lem6fi  16712  eupth2lem3lem4fi  16714