Theorem mptrcl 5729

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	|- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   I( x)   X( x)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmptss 5233	. 2 |- dom F C_ A
3	1	funmpt2 5365	. . . 4 |- Fun F
4		funrel 5343	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- Rel F
6		relelfvdm 5671	. . 3 |- ( ( Rel F /\ I e. ( F ` X ) ) -> X e. dom F )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. dom F )
8	2, 7	sselid 3225	1 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   Rel wrel 4730   Fun wfun 5320   ` cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  bitsval  12503  divsfval  13410  submrcl  13553  issubg  13759  isnsg  13788  issubrng  14212  issubrg  14234  zrhval  14630  psmetdmdm  15047  psmetf  15048  psmet0  15050  psmettri2  15051  psmetres2  15056  plybss  15456  edgval  15910  wlkmex  16169  wlkreslem  16228  trlsv  16234  isclwwlk  16244  clwwlkbp  16245  clwwlknonmpo  16278  eupthv  16296