Theorem mptrcl 5760

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	|- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   I( x)   X( x)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmptss 5259	. 2 |- dom F C_ A
3	1	funmpt2 5391	. . . 4 |- Fun F
4		funrel 5369	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- Rel F
6		relelfvdm 5702	. . 3 |- ( ( Rel F /\ I e. ( F ` X ) ) -> X e. dom F )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. dom F )
8	2, 7	sselid 3236	1 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   |-> cmpt 4171   dom cdm 4749   Rel wrel 4754   Fun wfun 5346   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  bitsval  12629  divsfval  13541  submrcl  13684  issubg  13890  isnsg  13919  issubrng  14344  issubrg  14366  zrhval  14765  psmetdmdm  15189  psmetf  15190  psmet0  15192  psmettri2  15193  psmetres2  15198  plybss  15598  edgval  16055  wlkmex  16314  wlkreslem  16373  trlsv  16379  isclwwlk  16389  clwwlkbp  16390  clwwlknonmpo  16423  eupthv  16441  trlsegvdegfi  16462  eupth2lem3lem1fi  16463  eupth2lem3lem2fi  16464  eupth2lem3lem6fi  16466  eupth2lem3lem4fi  16468