Theorem mptrcl 5791

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	|- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   I( x)   X( x)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	dmmptss 5287	. 2 |- dom F C_ A
3	1	funmpt2 5419	. . . 4 |- Fun F
4		funrel 5397	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- Rel F
6		relelfvdm 5730	. . 3 |- ( ( Rel F /\ I e. ( F ` X ) ) -> X e. dom F )
7	5, 6	mpan 428	. 2 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. dom F )
8	2, 7	sselid 3246	1 |- ( I e. ( F ` X ) -> X e. A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   Fun wfun 5374   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388

This theorem is used by:  indval0  9306  bitsval  12734  divsfval  13707  submrcl  13836  issubg  14034  isnsg  14063  cntrval  14150  cntzval  14152  cntzrcl  14158  issubrng  14615  issubrg  14637  zrhval  15060  asclfval  15129  psmetdmdm  15567  psmetf  15568  psmet0  15570  psmettri2  15571  psmetres2  15576  plybss  15976  edgval  16523  wlkmex  16782  wlkreslem  16841  trlsv  16847  isclwwlk  16857  clwwlkbp  16858  clwwlknonmpo  16891  eupthv  16909  trlsegvdegfi  16930  eupth2lem3lem1fi  16931  eupth2lem3lem2fi  16932  eupth2lem3lem6fi  16934  eupth2lem3lem4fi  16936