Theorem wlkmex 16440

Description: If there are walks on a graph, the graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkmex	⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem wlkmex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wlks 16439	. 2 ⊢ Walks = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝑔) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝑔) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑔)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑔)‘(𝑓‘𝑘))))})
2	1	mptrcl 5765	1 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  if-wif 986   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  {csn 3694  {cpr 3695  {copab 4175  dom cdm 4754  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146  ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Walkscwlks 16438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-wlks 16439

This theorem is referenced by:  wlkv  16447  wlkcompim  16473  wlkeq  16475