Theorem xnn0xrnemnf 9624

Description: The extended nonnegative integers are extended reals without negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrnemnf	|- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )

Proof of Theorem xnn0xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0xr 9617	. 2 |- ( A e. NN0* -> A e. RR* )
2		xnn0nemnf 9623	. 2 |- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )
3	1, 2	jca 306	1 |- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   =/= wne 2420   -oocmnf 8351   RR*cxr 8352  NN0*cxnn0 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269  ax-rnegex 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-inn 9287  df-n0 9546  df-xnn0 9613

This theorem is referenced by:  xnn0xadd0  10251  xnn0add4d  10270