Theorem xnn0xrnemnf 9405

Description: The extended nonnegative integers are extended reals without negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrnemnf	|- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )

Proof of Theorem xnn0xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0xr 9398	. 2 |- ( A e. NN0* -> A e. RR* )
2		xnn0nemnf 9404	. 2 |- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )
3	1, 2	jca 306	1 |- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   =/= wne 2378   -oocmnf 8140   RR*cxr 8141  NN0*cxnn0 9393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-inn 9072  df-n0 9331  df-xnn0 9394

This theorem is referenced by:  xnn0xadd0  10024  xnn0add4d  10043