Theorem xnn0xrnemnf 9341

Description: The extended nonnegative integers are extended reals without negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrnemnf	|- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )

Proof of Theorem xnn0xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0xr 9334	. 2 |- ( A e. NN0* -> A e. RR* )
2		xnn0nemnf 9340	. 2 |- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )
3	1, 2	jca 306	1 |- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   =/= wne 2367   -oocmnf 8076   RR*cxr 8077  NN0*cxnn0 9329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-inn 9008  df-n0 9267  df-xnn0 9330

This theorem is referenced by:  xnn0xadd0  9959  xnn0add4d  9978