Theorem xnn0nemnf 9314

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	|- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9305	. 2 |- ( A e. NN0* <-> ( A e. NN0 \/ A = +oo ) )
2		nn0re 9249	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
3	2	renemnfd 8071	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A =/= -oo )
4		pnfnemnf 8074	. . . 4 |- +oo =/= -oo
5		neeq1 2377	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = +oo -> A =/= -oo )
7	3, 6	jaoi 717	. 2 |- ( ( A e. NN0 \/ A = +oo ) -> A =/= -oo )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   +oocpnf 8051   -oocmnf 8052   NN0cn0 9240  NN0*cxnn0 9303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-rnegex 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9315