Theorem xnn0nemnf 9323

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	|- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9314	. 2 |- ( A e. NN0* <-> ( A e. NN0 \/ A = +oo ) )
2		nn0re 9258	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
3	2	renemnfd 8078	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A =/= -oo )
4		pnfnemnf 8081	. . . 4 |- +oo =/= -oo
5		neeq1 2380	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = +oo -> A =/= -oo )
7	3, 6	jaoi 717	. 2 |- ( ( A e. NN0 \/ A = +oo ) -> A =/= -oo )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   +oocpnf 8058   -oocmnf 8059   NN0cn0 9249  NN0*cxnn0 9312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-inn 8991  df-n0 9250  df-xnn0 9313

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9324