Theorem xnn0nemnf 9054

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	|- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9045	. 2 |- ( A e. NN0* <-> ( A e. NN0 \/ A = +oo ) )
2		nn0re 8989	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
3	2	renemnfd 7820	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A =/= -oo )
4		pnfnemnf 7823	. . . 4 |- +oo =/= -oo
5		neeq1 2321	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = +oo -> A =/= -oo )
7	3, 6	jaoi 705	. 2 |- ( ( A e. NN0 \/ A = +oo ) -> A =/= -oo )
8	1, 7	sylbi 120	1 |- ( A e. NN0* -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   +oocpnf 7800   -oocmnf 7801   NN0cn0 8980  NN0*cxnn0 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720  ax-rnegex 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-inn 8724  df-n0 8981  df-xnn0 9044

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9055