Theorem xnn0add4d 9961

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 9960. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	|- ( ph -> A e. NN0* )
xnn0add4d.2	|- ( ph -> B e. NN0* )
xnn0add4d.3	|- ( ph -> C e. NN0* )
xnn0add4d.4	|- ( ph -> D e. NN0* )

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	|- ( ph -> ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) ) = ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN0* )
2		xnn0xrnemnf 9324	. . 3 |- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
4		xnn0add4d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. NN0* )
5		xnn0xrnemnf 9324	. . 3 |- ( B e. NN0* -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
7		xnn0add4d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. NN0* )
8		xnn0xrnemnf 9324	. . 3 |- ( C e. NN0* -> ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) )
10		xnn0add4d.4	. . 3 |- ( ph -> D e. NN0* )
11		xnn0xrnemnf 9324	. . 3 |- ( D e. NN0* -> ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) )
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 9960	1 |- ( ph -> ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) ) = ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367  (class class class)co 5922   -oocmnf 8059   RR*cxr 8060  NN0*cxnn0 9312   +ecxad 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-inn 8991  df-n0 9250  df-xnn0 9313  df-xadd 9848

This theorem is referenced by: (None)