Theorem xnn0add4d 9822

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 9821. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	|- ( ph -> A e. NN0* )
xnn0add4d.2	|- ( ph -> B e. NN0* )
xnn0add4d.3	|- ( ph -> C e. NN0* )
xnn0add4d.4	|- ( ph -> D e. NN0* )

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	|- ( ph -> ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) ) = ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN0* )
2		xnn0xrnemnf 9189	. . 3 |- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
4		xnn0add4d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. NN0* )
5		xnn0xrnemnf 9189	. . 3 |- ( B e. NN0* -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
7		xnn0add4d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. NN0* )
8		xnn0xrnemnf 9189	. . 3 |- ( C e. NN0* -> ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) )
10		xnn0add4d.4	. . 3 |- ( ph -> D e. NN0* )
11		xnn0xrnemnf 9189	. . 3 |- ( D e. NN0* -> ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) )
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 9821	1 |- ( ph -> ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) ) = ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336  (class class class)co 5842   -oocmnf 7931   RR*cxr 7932  NN0*cxnn0 9177   +ecxad 9706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-rnegex 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-inn 8858  df-n0 9115  df-xnn0 9178  df-xadd 9709

This theorem is referenced by: (None)