ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnn0add4d Unicode version

Theorem xnn0add4d 9836
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 9835. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xnn0add4d.1  |-  ( ph  ->  A  e. NN0* )
xnn0add4d.2  |-  ( ph  ->  B  e. NN0* )
xnn0add4d.3  |-  ( ph  ->  C  e. NN0* )
xnn0add4d.4  |-  ( ph  ->  D  e. NN0* )
Assertion
Ref Expression
xnn0add4d  |-  ( ph  ->  ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) )  =  ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Proof of Theorem xnn0add4d
StepHypRef Expression
1 xnn0add4d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e. NN0* )
2 xnn0xrnemnf 9203 . . 3  |-  ( A  e. NN0*  ->  ( A  e. 
RR*  /\  A  =/= -oo ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )
)
4 xnn0add4d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e. NN0* )
5 xnn0xrnemnf 9203 . . 3  |-  ( B  e. NN0*  ->  ( B  e. 
RR*  /\  B  =/= -oo ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )
)
7 xnn0add4d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e. NN0* )
8 xnn0xrnemnf 9203 . . 3  |-  ( C  e. NN0*  ->  ( C  e. 
RR*  /\  C  =/= -oo ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )
)
10 xnn0add4d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e. NN0* )
11 xnn0xrnemnf 9203 . . 3  |-  ( D  e. NN0*  ->  ( D  e. 
RR*  /\  D  =/= -oo ) )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR*  /\  D  =/= -oo )
)
133, 6, 9, 12xadd4d 9835 1  |-  ( ph  ->  ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) )  =  ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340  (class class class)co 5851   -oocmnf 7945   RR*cxr 7946  NN0*cxnn0 9191   +ecxad 9720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1re 7861  ax-addrcl 7864  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-rnegex 7876
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-inn 8872  df-n0 9129  df-xnn0 9192  df-xadd 9723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator