Theorem xnn0add4d 10182

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 10181. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	|- ( ph -> A e. NN0* )
xnn0add4d.2	|- ( ph -> B e. NN0* )
xnn0add4d.3	|- ( ph -> C e. NN0* )
xnn0add4d.4	|- ( ph -> D e. NN0* )

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	|- ( ph -> ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) ) = ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN0* )
2		xnn0xrnemnf 9538	. . 3 |- ( A e. NN0* -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
4		xnn0add4d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. NN0* )
5		xnn0xrnemnf 9538	. . 3 |- ( B e. NN0* -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
7		xnn0add4d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. NN0* )
8		xnn0xrnemnf 9538	. . 3 |- ( C e. NN0* -> ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) )
10		xnn0add4d.4	. . 3 |- ( ph -> D e. NN0* )
11		xnn0xrnemnf 9538	. . 3 |- ( D e. NN0* -> ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) )
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 10181	1 |- ( ph -> ( ( A +e B ) +e ( C +e D ) ) = ( ( A +e C ) +e ( B +e D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403  (class class class)co 6028   -oocmnf 8271   RR*cxr 8272  NN0*cxnn0 9526   +ecxad 10066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-rnegex 8201

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-inn 9203  df-n0 9462  df-xnn0 9527  df-xadd 10069

This theorem is referenced by: (None)