Theorem xnn0xrnemnf 9210

Description: The extended nonnegative integers are extended reals without negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrnemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem xnn0xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0xr 9203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xnn0nemnf 9209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 304	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953  ℕ₀^*cxnn0 9198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-inn 8879  df-n0 9136  df-xnn0 9199

This theorem is referenced by:  xnn0xadd0  9824  xnn0add4d  9843