Theorem pw1nct 16328

Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nct	⊢ (∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) → ¬ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝒫 1o ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑟   𝑓,𝑞,𝑚,𝑟

Proof of Theorem pw1nct

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω)
2		nfv 1574	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛
3		nfre1 2573	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚
4	2, 3	nfim 1618	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)
5	1, 4	nfim 1618	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚))
6	5	nfal 1622	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚))
7		nfv 1574	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑓:ω–onto→𝒫 1o
8	6, 7	nfan 1611	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o)
9		breq1 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ∅ → (𝑞◡𝑓𝑚 ↔ ∅◡𝑓𝑚))
10		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚)
11		0elpw 4247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 1o
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ∅ ∈ 𝒫 1o)
13	9, 10, 12	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ∅◡𝑓𝑚)
14		0ex 4210	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		vex 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑚 ∈ V
16	14, 15	brcnv 4904	. . . . . . . 8 ⊢ (∅◡𝑓𝑚 ↔ 𝑚𝑓∅)
17	13, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → 𝑚𝑓∅)
18		fofn 5549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ω–onto→𝒫 1o → 𝑓 Fn ω)
19	18	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → 𝑓 Fn ω)
20		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
21		fnbrfvb 5671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 Fn ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑚) = ∅ ↔ 𝑚𝑓∅))
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ((𝑓‘𝑚) = ∅ ↔ 𝑚𝑓∅))
23	17, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → (𝑓‘𝑚) = ∅)
24		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 1o → (𝑞◡𝑓𝑚 ↔ 1o◡𝑓𝑚))
25		1oex 6568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
26	25	pwid 3664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → 1o ∈ 𝒫 1o)
28	24, 10, 27	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → 1o◡𝑓𝑚)
29	25, 15	brcnv 4904	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o◡𝑓𝑚 ↔ 𝑚𝑓1o)
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → 𝑚𝑓1o)
31		fnbrfvb 5671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 Fn ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑚) = 1o ↔ 𝑚𝑓1o))
32	19, 20, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ((𝑓‘𝑚) = 1o ↔ 𝑚𝑓1o))
33	30, 32	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → (𝑓‘𝑚) = 1o)
34		1n0 6576	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
35	34	neii 2402	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1o = ∅
36		eqeq1 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑚) = 1o → ((𝑓‘𝑚) = ∅ ↔ 1o = ∅))
37	36	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑚) = 1o → ((𝑓‘𝑚) = ∅ → 1o = ∅))
38	37	con3dimp 638	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑚) = 1o ∧ ¬ 1o = ∅) → ¬ (𝑓‘𝑚) = ∅)
39	33, 35, 38	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ¬ (𝑓‘𝑚) = ∅)
40	23, 39	pm2.21fal 1415	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚) → ⊥)
41		fof 5547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ω–onto→𝒫 1o → 𝑓:ω⟶𝒫 1o)
42		fssxp 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ω⟶𝒫 1o → 𝑓 ⊆ (ω × 𝒫 1o))
43		cnvss 4894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ⊆ (ω × 𝒫 1o) → ◡𝑓 ⊆ ◡(ω × 𝒫 1o))
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ω⟶𝒫 1o → ◡𝑓 ⊆ ◡(ω × 𝒫 1o))
45		cnvxp 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(ω × 𝒫 1o) = (𝒫 1o × ω)
46	44, 45	sseqtrdi 3272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ω⟶𝒫 1o → ◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω))
47	41, 46	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω–onto→𝒫 1o → ◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω))
48	47	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) → ◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω))
49		foelrn 5875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ω–onto→𝒫 1o ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 1o) → ∃𝑛 ∈ ω 𝑝 = (𝑓‘𝑛))
50	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ω–onto→𝒫 1o ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓 Fn ω)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ω–onto→𝒫 1o ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
52		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑛) = 𝑝 ↔ 𝑝 = (𝑓‘𝑛))
53		fnbrfvb 5671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 Fn ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) = 𝑝 ↔ 𝑛𝑓𝑝))
54		brcnvg 4902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) → (𝑝◡𝑓𝑛 ↔ 𝑛𝑓𝑝))
55	54	elvd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ V → (𝑝◡𝑓𝑛 ↔ 𝑛𝑓𝑝))
56	55	elv 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝◡𝑓𝑛 ↔ 𝑛𝑓𝑝)
57	53, 56	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 Fn ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) = 𝑝 ↔ 𝑝◡𝑓𝑛))
58	52, 57	bitr3id 194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 Fn ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑝 = (𝑓‘𝑛) ↔ 𝑝◡𝑓𝑛))
59	50, 51, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→𝒫 1o ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑝 = (𝑓‘𝑛) ↔ 𝑝◡𝑓𝑛))
60	59	rexbidva 2527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ω–onto→𝒫 1o ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑝 = (𝑓‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛))
61	49, 60	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–onto→𝒫 1o ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 1o) → ∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛)
62	61	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω–onto→𝒫 1o → ∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛)
63	62	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) → ∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛)
64		cnvexg 5265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ V → ◡𝑓 ∈ V)
65	64	elv 2803	. . . . . . 7 ⊢ ◡𝑓 ∈ V
66		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) → ∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)))
67		sseq1 3247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) ↔ ◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω)))
68		breq 4084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (𝑝𝑟𝑛 ↔ 𝑝◡𝑓𝑛))
69	68	rexbidv 2531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛))
70	69	ralbidv 2530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛))
71		breq 4084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (𝑞𝑟𝑚 ↔ 𝑞◡𝑓𝑚))
72	71	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚))
73	72	rexbidv 2531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → (∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚 ↔ ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚))
74	70, 73	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → ((∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚) ↔ (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚)))
75	67, 74	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = ◡𝑓 → ((𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ↔ (◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚))))
76	75	spcgv 2890	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑓 ∈ V → (∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) → (◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚))))
77	65, 66, 76	mpsyl 65	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) → (◡𝑓 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝◡𝑓𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚)))
78	48, 63, 77	mp2d 47	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞◡𝑓𝑚)
79	8, 40, 78	r19.29af 2672	. . . 4 ⊢ ((∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) ∧ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o) → ⊥)
80	79	inegd 1414	. . 3 ⊢ (∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) → ¬ 𝑓:ω–onto→𝒫 1o)
81	80	nexdv 1987	. 2 ⊢ (∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) → ¬ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→𝒫 1o)
82		elex2 2816	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝒫 1o)
83		ctm 7272	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝒫 1o → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝒫 1o ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→𝒫 1o))
84	11, 82, 83	mp2b 8	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝒫 1o ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→𝒫 1o)
85	81, 84	sylnibr 681	1 ⊢ (∀𝑟(𝑟 ⊆ (𝒫 1o × ω) → (∀𝑝 ∈ 𝒫 1o∃𝑛 ∈ ω 𝑝𝑟𝑛 → ∃𝑚 ∈ ω ∀𝑞 ∈ 𝒫 1o𝑞𝑟𝑚)) → ¬ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝒫 1o ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1393   = wceq 1395  ⊥wfal 1400  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4082  ωcom 4681   × cxp 4716  ^◡ccnv 4717   Fn wfn 5312  ⟶wf 5313  –onto→wfo 5315  ‘cfv 5317  1_oc1o 6553   ⊔ cdju 7200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247

This theorem is referenced by: (None)